Аксиома параллельных

Аксиома параллельных прямых

Геометрия, Глава III, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Аксиомы и теоремы

Математические утверждения о геометрических фигурах

Определения

Свойства

геометрических фигур

геометрических фигур

Математические утверждения о свойствах геометрических фигурах как исходные , само собой разумеющие

Математические утверждения о свойствах геометрических фигурах, требующие объяснения (доказательства)

ТЕОРЕМА

АКСИОМА

Аксиома

В словаре Даля:

Аксиома  — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств ».

В Энциклопедическом словаре:

Аксиома – (греч. axioma) – положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убеди-тельности;  истинное исходное положение теории.

Влади́мир Ива́нович Даль 

(1801 — 1872), русский писатель, этнограф и лексикограф, собиратель фольклора, военный врач.

Аксиомы и теоремы

Математические утверждения о геометрических фигурах

Определения

Свойства

геометрических фигур

геометрических фигур

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки

Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих угло в

ТЕОРЕМА

АКСИОМА

Аксиомы и теоремы

Математические утверждения о геометрических фигурах

Определения

Свойства

геометрических фигур

геометрических фигур

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными

Сумма смежных углов

равна 180 0 .

ТЕОРЕМА

АКСИОМА

Примеры аксиом

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну

О

m

m

n

n

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек

В

С

А

Когда точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков

Примеры аксиом

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один

От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Покажем, что через любую точку можно провести прямую, параллельную данной прямой.

M

c

b

a

Можно ли через точку М провести еще одну прямую , параллельную прямой а ?

Можно ли через точку М провести еще одну прямую , параллельную прямой а ?

а

М

История вопроса

Аксиома или теорема?

Пятый постулат Евклида:

Через точку , не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

«Начала Евклида» – первый учебник по геометрии

Однажды царь Птолемей спросил Евклида, нет ли в геометрии короткого пути для ее изучения, чем тот, что предлагает Евклид. На что ученый ответил: «Для царей нет отдельного пути в геометрии».

Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855 г. ) немецкий

Янош Бойяи

Николай Иванович Лобачевский

(1792 - 1856),

(1802 - 1860), венгерский

математик

математик

русский математик

Создатели неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского)

Гаусс высказал публично мнение о недоказуемости аксиомы Евклида , но, боясь нападок, своих работ по этому вопросу не публиковал

Основываясь на утверждении, что при определенных условиях прямые, которые кажутся нам параллельными, могут пересекаться, они пришли к выводу о возможности создания новой, непротиворечивой геометрии. Поскольку ее существование было невозможно представить в реальном мире, она была названа «воображаемой геометрией».

Труд

Труд

Яноша Бойяи

Н.И.Лобачевского.

«Appendix» ,

«О началах геометрии», 1829

1832

Геометрию Лобачевского справедливо

называют звездной геометрией.

Последующее развитие науки доказало следующее:

На участках поверхности Земли, которые с достаточной точностью можно считать плоскими, выполняется геометрия Евклида

В пространстве релятивистских скоростей (т.е. близких к скорости света) действует геометрия Лобачевского. 

АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ

ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА

Через точку , не лежащую на данной прямой, проходит только одну прямая, параллельная данной.

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями.

Следствия из аксиомы параллельных

2 0 . Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

1 0 . Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую

О

M

с

а

а

b

b

с

Предположим обратное тому, что надо доказать. ….

Следствия из аксиомы параллельных

Задача № 198 Прямые a и b перпендикулярны к прямой p, прямая с пересекает прямую а . Пересекает ли прямая с прямую в?

с

а

b

M

p

Следствия из аксиомы параллельных

Задача № 199 Прямая p параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямыеВС и АС пересекают прямую p.

В

p

А

С

Геометрия Лобачевского

1826 г. Лобачевский представил для напечатания в « Записках физико-математического отделения » сочинение: « Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных » (на французском языке), Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд « О началах геометрии » (1829-1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрией Лобачевского.

Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому:  на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную . Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 советом Казанского университета в Академию наук, получил   отрицательную оценку. Почти никто Лобачевского не поддержал, росли непонимание, невежественные насмешки.

Не найдя понимания на родине, Лобачевский попытался найти единомышленников за рубежом. В 1837 году статья Лобачевского « Воображаемая геометрия » на французском языке ( Géométrie imaginaire ) появилась в авторитетном берлинском журнале КРЕЛЛЕ, а в 1840 году Лобачевский опубликовал на немецком языке небольшую книгу « Геометрические исследования по теории параллельных », где содержится чёткое и систематическое изложение его основных идей.

Два экземпляра получил  Карл Фридрих Гаусс, «король математиков» той поры. В  письме астроному  Г.Х.Шумахеру Гаусс так оценил труд Лобачевского: «Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды (с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать); таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение»

Лобачевский умер непризнанным, не дожив до торжества своих идей. Признание пришло через 12 лет после его кончины, когда в 1868 г. Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобаческого может быть реализована на псевдосферических поверхностях в евклидовом пространстве, если за прямые принять геодезические.

Янош Бойяи

Янош Бойяи родился в семье известного математика Фаркаша Бойяи, который привил сыну большой интерес к математике. В 1822  Янош заканчивает Военно-инженерный колледж в Вене , сдав семилетний курс за 4 года. Уже в колледже он настолько увлёкся исследованием  пятого постулата Евклида , что отец с тревогой советовал Яношу: « Ты должен бросить это как самое гнусное извращение. Оно может отнять у тебя всё время, здоровье, разум, все радости жизни. Эта чёрная пропасть в состоянии, может быть, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон …» Янош не внял совету отца. Вскоре он приходит к выводу, что пятый постулат недоказуем и независим от остальных. Это означало, что, заменив его на альтернативный, можно построить новую геометрию, отличную от евклидовой. Он шутит в письме отцу: « Я создал странный новый мир из ничег о!» Примерно в 1820—1823 годах Бойяи заканчивает трактат с описанием новой геометрии.

В 1832 году  Фаркаш Бойяи публикует своё сочинение, а в приложении к нему — работу сына, вошедшую в историю математики под именем   Appendix  (приложение). Полное название труда Яноша Бойяи: « Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может) ».

«Аппендикс», как и работы Лобачевского, остался непонятым и незамеченным.

Годом ранее (1831) Фаркаш Бойяи послал «Аппендикс» своему давнему другу Гауссу. Прочитав сочинение, Гаусс написал одному из своих друзей: «Этот юный геометр Бойяи — гений высшего класса». Как выяснилось много позже, Гаусс сам тайком развивал неевклидову геометрию (ещё с начала 1820-х годов), однако ничего на эту тему так и не опубликовал. Самому же Фаркашу Гаусс ответил: «Оценить это — всё равно что оценить себя. Потому что всё, что там написано, совпадает с моими собственными размышлениями последних 30-35 лет на эту тему.»

В 1848 году Янош Бойяи знакомится с трудом  Лобачевского, который ещё в 1829 году, на 3 года раньше Бойяи, опубликовал сходную по идеям работу. Бойяи в ярости. Он подозревает, что у него украли лучшие идеи, что никакого Лобачевского никогда не существовало, и всё это проделки хитроумного Гаусса. В то же время он восхищается мастерством и остроумием доказательства некоторых теорем. 

Последние годы Бойяи омрачены тяжёлым душевным разладом. Он начинает несколько новых исследований, но ни одно не доводит до завершения. После его смерти были обнаружены более 20000 листов незаконченных математических рукописей. Однако «Аппендикс» так и остался единственной его работой, напечатанной при жизни автора.