Аксиомы стереометрии

Стереометрия Аксиомы стереометрии и их следствия

• Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур.

• Слово «геометрия» - греческое, в переводе – «землемерие»

Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит прикладное значение геометрии.

Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих

других областях науки и техники.

Планиметрия

Стереометрия

Изучает свойства геометрических фигур на плоскости

Изучает свойства фигур в пространстве

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный, «метрео» – мерить

В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»

«гео» – по-гречески земля, «метрео» – мерить

Планиметрия

Стереометрия

Основные фигуры : точка, прямая, плоскость

Основные фигуры : точка, прямая

Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Например, многогранники. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.

Тела вращения.

Шар, сфера, цилиндр, конус.

Другие фигуры: отрезок, луч, треугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция, прямоугольник, выпуклые и невыпуклые n- угольники, круг, окружность, дуга и др.

Для обозначение точек используем прописные латинские буквы

B

C

A

Для обозначение прямых используем строчные латинские буквы

a

b

c

Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами.

E

D

Плоскость в стереометрии обозначают греческими буквами, например:

А на рисунках чаще всего плоскость изображают в виде параллелограмма. Но следует понимать и представлять себе данную геометрическую фигуру как неограниченную во все стороны.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Точка A принадлежит прямой a

Точка B не принадлежит прямой a

Точка A принадлежит плоскости

Точка B не принадлежит плоскости

Прямая a лежит в плоскости

Прямая b не лежит в плоскости

Прямая b пересекает плоскость в точке A

Плоскости и пересекаются по прямой c

Прочти чертеж

A

С

c

b

B

a

Прочти чертеж

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Существует множество аксиом стереометрии, в учебнике вам представлены три:

А 1 . (Описывает способ задания плоскости)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

C

На кнопку « i » можно нажать несколько раз.

A

B

8

Самый простой пример к аксиоме А 1 из повседневной жизни:

Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.

Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка (четвертая «точка») не лежит в плоскости

пола, а висит в воздухе.

А 2 . Описывает взаимное расположение прямой и плоскости

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

B

a

A

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

13

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Свойство, выраженное в аксиоме А 2 , используется для проверки «ровности» чертежной линейки.

Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола.

Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

14

Следствия из аксиомы А 2 :

• Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
• Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

a

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

N

15

А 3 . Взаимное расположение плоскостей

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Самый простой пример к аксиоме А 3 из повседневной жизни является пересечение двух смежных стен комнаты.

a

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

15

Следствия из аксиом

Теорема

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Q

P

М

a

Теорема

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна

b

N

М

a

В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга

Определите: верно, ли суждение?

• Любые три точки лежат в одной плоскости.
• Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
• Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
• Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна.
• Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
• Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
• Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
• Если плоскости не пересекаются, то они параллельны.

ДА

НЕТ

НЕТ

НЕТ

ДА

НЕТ

НЕТ

ДА

Назовите плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB , AB , EC

Назовите точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС

Назовите точки, лежащие в плоскостях А DB и DBC

Назовите прямые по которым пересекаются плоскости

АВС и DCB

ABD и CDA

PDC и ABC

Задача 1

D

K

P

M

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8. На кнопку « i » нажмите несколько раз.

A

C

E

B

17

Задача 2

B 1

Q

C 1

Назовите точки, лежащие в плоскостях DCC 1 и BQC

Назовите плоскости, в которых лежит прямая АА 1

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

17

Задача 3

Пользуясь данным рисунком, назовите:

а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС;

б) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ;

в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB .

S

К

C

А

N

М

В

Задача 4.

Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 .

С 1

D 1

M

Точка М лежит на ребре DD 1

Точка N лежит на ребре CC 1

А 1

В 1

Точка K лежит на ребре BB 1

N

D

С

K

А

В

1) Назовите плоскости

в которых лежат точки М и N.

Точка М лежит на

ребре DD 1

Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 .

D 1

С 1

M

Точка N лежит на

ребре CC 1

В 1

А 1

Точка K лежит на

ребре BB 1

N

D

С

K

А

В

2) Найдите точку F – точку пересечения

прямых MN и D С.

Каким свойством обладает точка F?

Закрепление изученного материала

Точка М лежит на

ребре DD 1

Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 .

D 1

С 1

Точка N лежит на

ребре CC 1

M

А 1

В 1

Точка K лежит на

ребре BB 1

N

D

• Найдите точку

пересечения прямой KN

и плоскости АВС.

С

K

В

А

Домашнее задание:

Выучить аксиомы, следствия, разобрать решенные задачи.