АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Геометрия
10 класс
- Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
- В стереометрии, также как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путём доказательства соответствующих теорем.
- При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, сформулированных в виде аксиом.
Аксиомы – это первоначальные факты геометрии, которые принимаются без доказательств и позволяют вывести из них дальнейшие факты этой науки.
«Аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начала всего»
АРИСТОТЕЛЬ
«Так называемые аксиомы математики – это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта»
Ф. Энгельс.
Основные фигуры в пространстве
Прямая
Плоскость
Точка
Изображать плоскость мы будем в виде параллелограмма
или в виде произвольной области.
Плоскость, как и прямая, бесконечна. На рисунке мы
изображаем только часть плоскости, но представляем её
неограниченно продолженной во все стороны.
Плоскости обозначают греческими буквами
Введение нового геометрического образа (плоскости) заставляет расширить известную нам в планиметрии систему аксиом. Поэтому вводится группа аксиом С, которая выражает основные свойства плоскости в пространстве. Эта группа состоит из трёх аксиом.
Аксиомы группы С.
С 1 : Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С
D
А
К
B
Аксиомы группы С.
С 2 : Если две различные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку.
с
С
Аксиомы группы С.
С 3 : Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
С
a
b
Аксиомы выражают интуитивно ясные свойства плоскостей, их связь с двумя другими основными фигурами стереометрии – с прямыми и точками.
Рассмотренные аксиомы С 1 - С 3 относятся только к плоскостям, и к ним необходимо добавить аксиомы о прямых, аналогичные соответствующим планиметрическим аксиомам.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и аксиом группы С.
Система аксиом стереометрии
I 1 : Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
I 2 : Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
0 " width="640"
Система аксиом стереометрии
II : Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими .
III : Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
В
С
А
АВ = АС + СВ
АВ 0
Система аксиом стереометрии
IV : Прямая принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
0 ے АВС = В С ے АВЕ + ے СВЕ " width="640"
Система аксиом стереометрии
V : Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180 º . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
А
180 °
Е
АВС 0
ے АВС =
В
С
ے АВЕ + ے СВЕ
Система аксиом стереометрии
VI : На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
VII : От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 º , и только один.
К
К
О
А
а
А
О
ОК = а
Система аксиом стереометрии
VIII : Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости .
Система аксиом стереометрии
IX : На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Система аксиом стереометрии
С 1 : Какова бы ни была плоскость, существуют точки,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не
принадлежащие ей.
С 2 : Если две различные плоскости имеют общую точку,
то они пересекаются по прямой, проходящей через
эту точку.
С 3 : Если две различные прямые имеют общую точку, то
через них можно провести плоскость, и притом
только одну.
Решение задач
По рисунку ответьте на вопросы:
1) Какие точки принадлежат плоскости α ?
2) Какие точки не принадлежат плоскости α ?
C
A
B
D
F
Решение задач
По рисунку ответьте на вопросы.
Каким плоскостям принадлежит точка
S
М
А
К;
А;
М;
С
Р
S;
P
К
В
Решение задач
По рисунку ответьте на вопросы.
Вне каких плоскостей
лежит точка
S
М
А
С
S
М;
К;
А;
P ;
Р
К
В
Решение задач
По рисунку ответьте на вопросы.
По какой прямой пересекаются плоскости
S
М
3. ABC и ABS;
4. ABS и ASC;
5. PSC и ABC.
А
С
Р
К
В
Решение задач
Могут ли две различные плоскости
иметь только одну общую точку?
Каково взаимное расположение двух прямых
пространстве, если они имеют две общие точки?
Могут ли две различные прямые в пространстве
иметь более одной общей точки?
Решение задач
- Столяр проверяет, лежат ли ножки стула в одной плоскости, при помощи двух нитей. Объясните, как он это делает.
Решение задач
- Докажите, что все вершины четырёхугольника принадлежат одной плоскости, если его диагонали пересекаются.
Решение задач
Выполните: Упр. 3.
Упр. 1.
Домашнее задание
Изучить п.1.
Повторить аксиомы I – IX .
Выполнить упр. 2.
Информационные источники
Литература.
- 1. А.В.Погорелов Геометрия 10-11 ,Москва, Просвещение,2009 год.
- 2. Геометрия 10 класс (поурочные планы). Составители Т. Л. Афанасьева, Л. А. Тапилина. Изд. «Учитель», Волгоград, 2001.
- 3. Зив Б. Г. Геометрия: дидактические материалы для 10 класса. — М.: Просвещение, 2007—2008.
- 4. Саакян С. М. Изучение геометрии в 10—11 классах /С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. — М.: Просвещение, 2008.
- 5. Земляков А. Н. Геометрия в 10 классе: методические рекомендации. — М.: Просвещение, 2002.
- 6. Геометрия 10-11 классы. Тесты для текущего и обобщающего контроля. Авторы-составители: Г.И. Ковалёва, Н.И. Мазурова.
- 7. Евстафьева Л. П. Геометрия: дидактические материалы для 10—11 класса. — М.: Просвещение, 2004.
- 8. Геометрия, 10—11: Кн. для учителя / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик, Л. П.Евстафьева. — М.: Просвещение, 2005.
- 9. Зив Б. Г. Задачи по геометрии для 7—11 классов/ Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. — М.: Просвещение, 2003—2008.