СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 22.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Аксиомы стереометрии

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Показано использование на занятии информационно-компьютерных технологий для активизации познавательной деятельности учащихся при изучении темы "Аксиомы стереометрии"

Просмотр содержимого документа
«Аксиомы стереометрии»

План учебного занятия


Тема учебного занятия: Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей: аксиомы стереометрии.


Цели:

Обучающая: способствовать развитию навыков аналитического и образного мышления; закрепить знания учащихся о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Развивающая: развитие привычки самостоятельной подготовки к занятиям, учить сравнивать и обобщать изучаемые факты и понятия, развитие познавательного интереса и пространственного мышления учащихся.

Воспитательная: создать условия для развития коммуникативных компетенций учащихся (культуры общения, умения работать в парах); способствовать развитию творческой деятельности учащихся, интереса к учебным занятиям по дисциплине «Математика» и самообразованию.

Методическая: использование на занятии информационно-компьютерных технологий для активизации познавательной деятельности учащихся.

Тип учебного занятия: комбинированное

Методы и приемы обучения: информационно-аналитический, репродуктивный.

В результате изучения темы учащиеся должны:

Знать:

  • основные фигуры стереометрии;

  • правила обозначения основных фигур;

  • аксиомы стереометрии;

  • следствия из аксиом стереометрии.

Уметь:

  • распознавать пространственные геометрические фигуры;

  • раскрывать сущность геометрических понятий;

  • формулировать аксиомы стереометрии и следствия из них;

  • объяснять способы задания плоскости и соотношение принадлежности прямой и плоскости;

  • иллюстрировать условие задачи;

  • применять теоретические сведения при решении задач;

  • решать задачи на построение точки пересечения прямой и плоскости, прямой пересечения плоскостей.

Методическое и материально-техническое обеспечение учебного занятия: учебники, макеты многогранников, карточки с индивидуальными заданиями (многогранники, самостоятельная работа), компьютер, мультимедийный проектор, мультимедийное сопровождение учебного занятия.

Междисциплинарные связи: с учебной дисциплиной «История».

Дидактическая структура

занятия

Методическая подструктура

Методические приемы,

их содержание

Методы

обучения

Средства

обучения

Способы организации деятельности учащихся

  1. Организационный этап

    1. Организация начала занятия.

    2. Подготовка к совместной коммуникативной деятельности учащихся и преподавателя

    3. Проверка присутствующих учащихся и их готовности к занятию

Информационно-аналитический


Предъявление информации через слово преподавателя

Фронтальная, учащиеся проявляют готовность к учебному занятию

  1. Целевая установка. Мотивация учебной деятельности учащихся.

    1. Сообщение темы занятия.

    2. Обсуждение целей учебно-познавательной деятельности учащихся (быстро).

    3. Знакомство с этапами работы, а также с критериями оценки учебной деятельности учащихся при выполнении контрольной работы

Информационно-аналитический


Предъявление информации через слово преподавателя

Фронтальная, анализируется готовность учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основе опорных знаний

  1. Актуализация знаний

  1. Актуализация опорных знаний.

Установление правильности и осознанности выполнения домашнего задания всеми учащимися, выявление пробелов и их коррекция.

Информационно-аналитический


Результаты выполнения домашнего задания.

Фронтальная, анализируется процент выполнения и правильность выполнения домашнего задания.

  1. Проверка уровня сформированности общеучебных знаний, умений и навыков.

  1. Проверка домашнего задания:

  • математический диктант;

  • фронтальный опрос;

  • историческая справка;

  • анализ выполнения дополнительного домашнего задания;

  • самостоятельная работа с готовыми чертежами (многогранниками).

Репродуктивный


Перечень вопросов для диктанта и для фронтального опроса; карточки с индивидуальными заданиями

Фронтальная и индивидуальная; учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта, выполняют проверку; самостоятельно выполняют задания по карточкам.

  1. Формирование новых знаний, умений и навыков.

  1. Выполнение устно заданий по готовым рисункам

Задачи №1, 2, 3, 4, 5.


Репродуктивный

Мультимедийная презентация

Фронтальная, учащиеся под руководством преподавателя выполняют задания устно

  1. Работа по готовым рисункам

Задачи №1, 2, 3, 4

Репродуктивный

Мультимедийная презентация

Фронтальная, учащиеся под руководством преподавателя выполняют задания в тетрадях.

  1. Выполнение заданий по учебнику [6] глава 1

§2 стр. №71; №73 §3 стр. №111; №112

Дополнительно §2 стр. №75

Репродуктивный

Учебники, изображения многогранников на доске

Фронтальная, учащиеся под руководством преподавателя выполняют задания у доски.

  1. Закрепление полученных знаний.

  1. Работа по карточкам

Репродуктивный

Карточки для индивидуальной работы

Индивидуальная, учащиеся самостоятельно выполняют задания по карточкам.

  1. Подведение итогов занятия.

  1. Информирование о домашнем задании.

Осмысление содержания и порядка выполнения домашнего задания. [6], глава 1 §2-3 №72, 74, 113

Информационно-аналитический

План занятия

Фронтальный, учащиеся осознают необходимость выполнения домашнего задания.

  1. Оценка знаний учащихся и выставление отметок.



Информационно-аналитический


Критерии оценки

Индивидуальный, учащиеся сознают успешность выполненных учебных заданий

  1. Рефлексия.

Самоанализ собственной деятельности на учебном занятии учащимися.

Информационно-аналитический

Слово преподавателя, карточки для рефлексии

Фронтальная, учащиеся осознают результаты своей деятельности

ХОД УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ


  1. Организационный этап.

    1. Организация начала занятия.

    2. Подготовка к совместной коммуникативной деятельности учащихся и преподавателя.

    3. Проверка присутствующих учащихся и их готовности к занятию.


  1. Целевая установка. Мотивация учебной деятельности учащихся.


  1. Сообщение темы занятия.

Тема нашего учебного занятия «Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве: аксиомы стереометрии».

  1. Обсуждение целей учебно-познавательной деятельности учащихся (быстро).

Сегодня на занятии мы закрепим наши знания по теме «Аксиомы стереометрии». Эта тема открыла вам знакомство с новым разделом геометрии – «Стереометрия», который мы будем изучать на протяжении всего курса изучения учебной дисциплины «Математика». Сегодня мы повторим взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве, рассмотрим геометрические тела, вспомним некоторые их свойства, повторим аксиомы стереометрии и следствия из них, будем формировать навыки применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

И как сказал великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

  1. Знакомство с этапами работы, а также с критериями оценки учебной деятельности учащихся при выполнении контрольной работы.

Наше занятие мы построим следующим образом:

  1. проверим домашнее задание путем написания математического диктанта, фронтального опроса, индивидуальной работы по карточкам;

  2. заслушаем сообщения учащихся об аксиоматическом методе в геометрии;

  3. узнаем, как вы справились с дополнительным домашним заданием по подготовке математических сказок и стихов, а также узнаем ответы на вопросы исторической викторины;

  4. научимся работать с готовыми рисунками;

  5. научимся применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении задач.


  1. Актуализация знаний.


    1. Актуализация опорных знаний.

Установление правильности и осознанности выполнения домашнего задания всеми учащимися, выявление пробелов и их коррекция.

  1. Все выполнили домашнее задание?

  2. Какие вопросы возникли при выполнении домашнего задания?

  1. Проверка уровня сформированности общеучебных знаний, умений и навыков.


  1. Проверка домашнего задания.

  • Математический диктант с самопроверкой (приложение 1).

  • Фронтальный опрос (приложение 2, вопросы 1-20).

  • Историческая справка «Аксиомы. Аксиоматический метод» (приложение 3).

  • Просмотр видеоролика «Ералаш. Аксиома».

  • Фронтальный опрос (приложение 2, вопросы 21-28).

  • Анализ выполнения дополнительного домашнего задания:

  • определите, о каких аксиомах или следствиях из аксиом идет речь (приложение 4);

  • чтение учащимися стихов и сказок, которые они сочинили дома.

  • Работа с готовыми чертежами (многогранниками) самостоятельно (приложение 5). Работа с готовыми чертежами (многогранниками) индивидуально 2 учащихся за доской (приложение 6).


  1. Формирование знаний, умений и навыков.


Итак, мы повторили взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве, рассмотрели геометрические тела, повторили аксиомы стереометрии и следствия из них. А сейчас будем применять аксиомы стереометрии и их следствия при решении задач на нахождение и построение точки пересечения прямой и плоскости, на нахождение и построение прямой пересечения плоскостей.


  1. Решение задач по готовым рисункам (устно).

Задача №1

Пользуясь данным рисунком, назовите:

а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB, в плоскости АВС;

б) плоскость, в которой лежит прямая MN, прямая КМ;

в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB.


Задача №2

Пользуясь данным рисунком, назовите:

а) две плоскости, содержащие прямую DE, прямую EF;

б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC; плоскости FDE и SAC;

в) две плоскости, которые пересекает прямая SC.


Задача №3

Пользуясь данным рисунком, назовите три плоскости, содержащие прямую В1С


Задача №4

Пользуясь данным рисунком, назовите:

  1. несколько точек, которые лежат в плоскости α;

  2. несколько точек, которые не лежат в плоскости α;

  3. несколько прямых, которые лежат в плоскости α;

  4. несколько прямых, которые не лежат в плоскости α;

  5. несколько прямых, которые пересекают прямую ВС;

  6. несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС.

Задача №5

Определите и сформулируйте аксиомы или следствия из них по схематическому рисунку.


  1. Решение задач по готовым рисункам.


Задача №1.

Дан куб АВСDA1B1C1D1. Точка М лежит на ребре DD1. Точка N лежит на ребре CC1. Точка K лежит на ребре BB1

  1. Назовите плоскости в которых лежат точка М, точка N.

  2. Найдите точку F – точку пересечения прямых MN и DС.

  3. Каким свойством обладает точка F?

  4. Найдите точку пересечения прямой KN и плоскости АВС.

  5. Найдите линию пересечения плоскостей MNK и ABC.


Задача №2.

Задача №3.



Задача №4.



  1. Решение задач из учебника.


[6], глава 1 §2-3 № 71, 73, 111, 112

Дополнительно №75


  1. Контроль усвоения изученного материала, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.


  1. Работа по карточкам. (Приложение 7).


  1. Подведение итогов занятия.


    1. Викторина. (Приложение 8).


    1. Просмотр видеоролика “Евклид”.


    1. Информирование о домашнем задании.

Осмысление содержания и порядка выполнения домашнего задания.

[6], глава 1 §2-3 № 72, 74, 113

Дополнительно: Найти ответ на вопрос «Где в практической деятельности человека используются аксиомы стереометрии?»


    1. Оценка знаний учащихся и выставление отметок.


    1. Рефлексия.

Самоанализ собственной деятельности на учебном занятии учащимися.





Приложение 1

Математический диктант с самопроверкой.


Перечень вопросов

  1. раздел геометрии, который изучает свойства фигур на плоскости… (планиметрия)

  2. раздел геометрии, который изучает свойства фигур в пространстве… (стереометрия)

  3. геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости… (многогранник)

  4. многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами… (куб)

  5. многогранник, у которого шесть граней и каждая из них - параллелограмм… (параллелепипед)

  6. параллелепипед, у которого боковые грани прямоугольники… (прямой параллелепипед)

  7. параллелепипед, у которого все грани прямоугольники… (прямоугольный параллелепипед)

  8. многогранник, у которого две грани равные многоугольники, а остальные грани - параллелограммы… (призма)

  9. призма, у которой боковые грани - прямоугольники… (прямая призма)

  10. призма, у которой боковые грани - прямоугольники, а ее основания – правильные многоугольники… (правильная призма)

  11. многогранник, у которого одна грань - многоугольник, а остальные грани треугольники с общей вершиной… (пирамида)

  12. пирамида, у которой основание – правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой… (правильная пирамида)

  13. треугольная пирамида, у которой все грани – равные правильные треугольники… (тетраэдр).


ОТВЕТЫ

  1. Планиметрия

  2. Стереометрия

  3. Многогранник

  4. Куб

  5. Параллелепипед

  6. Прямой параллелепипед

  7. Прямоугольный параллелепипед

  8. Призма

  9. Прямая призма

  10. Правильная призма

  11. Пирамида

  12. Правильная пирамида

  13. Тетраэдр

Приложение 2

Фронтальный опрос.

Перечень вопросов:

  1. Какие разделы геометрии вы знаете?

Ответ: планиметрия и стереометрия.

  1. Дайте определение понятию «планиметрия».

Ответ: планиметрия – раздел геометрии, который изучает свойства фигур на плоскости.

  1. Дайте определение понятию «стереометрия».

Ответ: стереометрия – раздел геометрии, который изучает свойства фигур в пространстве.

  1. Назовите основные фигуры на плоскости.

Ответ: Основные фигуры на плоскости – точка и прямая.

  1. Назовите основные фигуры в пространстве.

Ответ: Основные фигуры на плоскости – точка, прямая и плоскость.

  1. Что дает нам наглядное представление об основных фигурах в пространстве?

Ответ: Геометрические тела.

  1. Какие геометрические тела вы знаете?

Ответ: Многогранники и тела вращения.

  1. С какими геометрическими телами мы познакомились.

Ответ: Многогранники.

  1. Какое геометрическое тело называется многогранником?

Ответ: Многогранник – это геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

  1. Назовите виды многогранников, которые вы знаете.

Ответ: Призма, пирамида.

  1. Какой многогранник называется кубом?

Ответ: Куб – многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами.

  1. Какой многогранник называется параллелепипедом?

Ответ: Параллелепипед – многогранник, у которого шесть граней и каждая из них - параллелограмм.

  1. Какой параллелепипед называется прямым?

Ответ: Прямой параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые грани прямоугольники.

  1. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

Ответ: Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.

  1. Какой многогранник называется призмой?

Ответ: Призма – это многогранник, у которого две грани равные многоугольники, а остальные грани - параллелограммы.

  1. Какая призма называется прямой?

Ответ: Прямая призма – это призма, у которой боковые грани - прямоугольники.

  1. Какая призма называется правильной?

Ответ: Правильная призма – это призма, у которой боковые грани - прямоугольники, а ее основания – правильные многоугольники.

  1. Какой многогранник называется пирамидой?

Ответ: Пирамида – это многогранник, у которого одна грань - многоугольник, а остальные грани треугольники с общей вершиной.

  1. Какая призма называется правильной?

Ответ: Правильная пирамида – это пирамида, у которой основание – правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

  1. Какая пирамида называется тетраэдром?

Ответ: Тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все грани – равные правильные треугольники.

  1. Какое утверждение называется аксиомой?

Ответ: Аксиома – исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства.

  1. Сколько аксиом стереометрии мы знаем?

Ответ: Три.

  1. Сформулируйте аксиомы стереометрии?

Ответ:

А1.Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей

  1. Сформулируйте следствия из аксиом стереометрии?

Ответ:

Сл1.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

Сл2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

  1. Что описывают аксиомы стереометрии?

Ответ:

А1.Способ задания плоскости.

А2. Взаимное расположение прямой и плоскости.

А3. Взаимное расположение плоскостей.

  1. Сформулируйте способы задания плоскости? Покажите на рисунке.

Ответ: 1) через три точки; 2)через прямую и не лежащую на ней точку; 3) через две пересекающиеся прямые.

  1. Каково взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве? Покажите на рисунке.

Ответ: 1) прямая лежит в плоскости; 2)прямая пересекает плоскость; 3) прямая не пересекает плоскость.

  1. Сколько общих точек в каждом случае? Покажите на рисунке.

Ответ: 1) множество; 2)одна; 3) ни одной.


Приложение 3

Аксиоматический метод построения геометрии


Изучаемая нами геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.

К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX–XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.

Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем:

  • перечисляются основные (неопределяемые) понятия,

  • все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее.

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми.

Далее формулируются аксиомы – предложения, принимаемые без доказательства. Доказывая какое-либо утверждение, опираются на некоторые предпосылки, которые считаются известными. Но эти предпосылки необходимо, в свою очередь, обосновать, опираясь на другие, и т. д. Чтобы оборвать эту бесконечную последовательность, вводят аксиомы – предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений.

К середине XIX века основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. Наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого математика Давида Гильберта, изложенная в его книге «Основания геометрии» в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением – принадлежности, порядка, равенства. Такое расчленение позволило, во-первых, формировать аксиомы кратким и простым образом; во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если положить в основу не всю аксиоматику, а только ту или иную ее группу. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними – это просто какие-то мыслимые «вещи», про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.

Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Шуром и основанная на понятии движения (наложения), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же Вениамином Федоровичем Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др.

Несмотря на то, что вопрос о формулировке непротиворечивой, полной и независимой системы аксиом геометрии был решен, выбор «удобной» системы остается открытым еще и с точки зрения методики и наглядности изложения материала, т. е. с точки зрения педагогики. В связи с этим необходимо заметить, что изучаемая нами система аксиом не является полной.

При подготовке к занятию мы обратили внимание на аксиому параллельности прямых. Независимость аксиомы о параллельных прямых в рамках аксиоматики евклидовой геометрии удалось установить только в XIX веке, после двух тысячелетий попыток вывести ее как следствие других аксиом системы. Хотя и сейчас многие задумываются над ее содержанием.

(Просмотр видеоролика - Ералаш)







Приложение 4

Анализ выполнения дополнительного домашнего задания.


Определите, о каких аксиомах или следствиях из аксиом идет речь:


На трех морях живут киты,

На синих трех морях.

На трех китах стоит Земля,

На трех больших китах.

Три точки – это якоря

Для плоскости одной.

И хоть в китов не верю я,

Но пусть по плоскости меня

Сейчас троллейбус номер «три»

Быстрей умчит.

Ответ: Аксиома А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.


Говорит прямой прямая:

- Я единственная знаю,

Как в далекий путь с тобой,

Даже в плоскости одной,

Мне отправиться, сестрица…

Точка А тут пригодится.

Не знакома с нею ты,

Ну, да это полбеды;

Раз нам, видно, все равно

Пересечься не дано,

Пусть она хоть в том поможет,

Что единый курс проложит!

Ответ: Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.


Чтение учащимися стихов и сказок, которые они сочинили дома.






Приложение 5

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________




Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________




Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

_______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________


Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Запишите:

  1. Название многогранника _________________

______________________________________

  1. Количество вершин _____________________

  2. Перечислите вершины ___________________

_______________________________________

  1. Количество ребер _______________________

  2. Перечислите ребра ______________________

_______________________________________

  1. Количество граней ______________________

  2. Перечислите грани ______________________

_______________________________________



Приложение 6



Приложение 7

Вариант 1

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Дано:

N(DBC)

Построить:

MN∩(ABC)

Построение:






Вариант 2

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________




Дано:

КB1B

Построить:

а) KM∩(ABC)

б) NK∩(ABC)

Построение:















Вариант 3

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________

Дано:

N(DBC)

Построить:

MN∩(ABC)

Построение:















Вариант 4

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Дано:

P(ADC), N(DBC)

Построить:

PN∩(ABC)

Построение:
















Вариант 5

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________




Дано:

P(NKL), F(NML)

Построить:

PF∩(KML)

Построение:















Вариант 6

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________


Дано:

MAA1C1C

Построить:

A1M∩(CC1B)

Построение:











Вариант 7

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________



Дано:

Aα, Bβ

Построить:

а) α∩(MAB)

б) β∩(MAB)

Построение:
















Вариант 8

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________



Дано:


Построить:

(MNK)∩(ABC)

Построение:















Вариант 9

Ф.И. учащегося ______________________________________________________________

Дано:


Построить:

(MNK)∩(ABC)

Построение:












Приложение 8

Викторина по истории геометрии 

ВОПРОСЫ

1. Кто, по преданию, из великих геометров древности сказал вражескому солдату, пришедшему его убить: «Не тронь моих кругов»?

Архимед, погибший при захвате римлянами его родного города Сиракузы в то время, когда пришел римский солдат. По преданию, Архимед был увлечен решением геометрической задачи, чертеж которой был выполнен на песке. Солдат, убивший Архимеда, или не знал о приказе военачальника сохранить жизнь Архимеду, или не узнал Архимеда. Впоследствии этот солдат был наказан, а семья Архимеда была окружена почестями.

2. На каком здании были начертаны слова: «Да не войдет сюда не искусившийся в геометрии!»

По преданию, эти слова были написаны у входа в Академию Платона (429-348 гг. до н.э.), чрезвычайно ценившего математику и способствовавшего его развитию. «Академией» называлась философская научная школа, основанная Платоном в 6 веке до н.э. близ Афин, в садах, посвященных памяти героя Академа.

3. Что, по преданию, завещал высечь на своем надгробном камне Архимед?

Архимед завещал высечь чертеж к теореме о свойствах шара и цилиндра. Он установил, что объем шара равен удвоенному объему конуса с радиусом основания, равным радиусу шара, и высотой, равной диаметру шара или 2/3 объема цилиндра с таким же радиусом основания и такою же высотой. Эти три тела с данным соотношением называют «телами Архимеда». Римский военачальник Марцелл исполнил желание ученого, воздвигнув в его честь гробницу, на которой был изображен шар, вписанный в цилиндр.

4. Кто является создателем первой неевклидовой геометрии? Когда и где она впервые была изложена?

Н.И. Лобачевский (1792-1856). На заседании физико-математического факультета Казанского университета 11(23) февраля 1826 г. Лобачевский сделал доклад об основах геометрии.

5. Кто является основоположником аналитической геометрии, являющейся соединением алгебры с геометрией?

Рене Декарт (1596-1650), французский философ и математик.

6. Кто ввел термины «абсцисса», «ордината», «координата»?

Лейбниц ввел понятия «абсцисса» в 1665 г., «ордината» - в 1684 г., «координата» - 1692 г.

7. Кто является автором самого первого учебника геометрии? Он же является однофамильцем известного греческого медика.

Гиппократ.

8. Этот ученый больше известен своими открытиями в алгебре, тем не менее, на своем надгробном памятнике он завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг. О каком ученом идет речь?

О Карле Фридрихе Гауссе – немецком математике.

9. Назовите фамилию древнегреческого ученого, предложившего формулу для нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Герон.

10. Какая книга лежит в основе большинства школьных учебников по геометрии? Кто её автор?

«Начала» Евклида, написанные в 6 веке до н.э.

11. Кто является создателем современной аксиоматики геометрии Евклида?

Д. Гильберт (1862-1943), немецкий математик.

12. Кто автор слов «В геометрии нет особых путей для царей!»? В связи с чем они были произнесены?

Автор этих слов – Евклид. Он произнес их Птоломею, спросившему у Евклида однажды, нет ли в геометрии более краткого пути, чем его «Начала».


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!