Аксиомы стереометрии.

10 класс

№ 5

Тема урока:

Аксиомы стереометрии.

Цель урока: ♦ рассмотреть пространственные аксиомы С₁ – С₃ и стереометрические аналоги

планиметрических аксиом I₁ – I_2;

♦ повторить аксиомы планиметрии;

♦ научить применять аксиомы стереометрии при решении задач.

Оборудование: чертёжные инструменты; компьютер; проектор, экран.

ХОД УРОКА.

1.Организация начала урока.

2. Сообщение темы и цели урока.

● Мы начинаем изучение систематического курса следующего раздела геометрии –

стереометрии. На какие вопросы мы должны сегодня получить ответы: Что изучает

стереометрия? Каковы основные фигуры стереометрии? Какими основными свойствами они

обладают?

3.Изучение нового материала.

• Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

• В стереометрии, также как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путём доказательства соответствующих теорем.

• При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, сформулированных в виде аксиом.

• Аксиомы – это первоначальные факты геометрии, которые принимаются без доказательств и позволяют вывести из них дальнейшие факты этой науки.

По словам Аристотеля: «Аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начала всего»

Фридрих Энгельс говорил, что «Так называемые аксиомы математики – это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта».

Логически безупречный список аксиом геометрии был указан на рубеже XIX – XX вв. немецким математиком Д. Гильбертом.

● Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. О точке и

прямой мы вели разговор на уроках планиметрии. Остановимся теперь на плоскости.

● Плоскость мы представляем себе как ровную поверхность крышки стола, доски и т. д.

Изображать плоскость мы будем в виде параллелограмма или в виде произвольной

области.

● Плоскость, как и прямая, бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть плоскости,

но представляем её неограниченно продолженной во все стороны. Плоскости обозначают

греческими буквами

● Введение нового геометрического образа (плоскости) заставляет расширить, известную

нам в планиметрии, систему аксиом. Поэтому вводится группа аксиом С, которая

выражает основные свойства плоскости в пространстве. Эта группа состоит из трёх аксиом.

Сформулируем их.

С₁: Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой

плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Например, на данном рисунке точки А и С принадлежат плоскости α, а точки D, B и K ей

не принадлежат.

С₂: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по

прямой, проходящей через эту точку.

Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости и имеют общую точку С, то существует прямая c, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой c.

То есть совокупность всех общих точек плоскостей и есть прямая, которая, конечно, проходит через указанную в аксиоме общую точку. Можно сказать иначе: общие точки плоскостей и составляют прямую (но не просто лежат на одной прямой).

Независимо от способа выражения смысл аксиомы С₂ в том, что если плоскости и различны и пересекаются (имеют хотя бы одну общую точку), то их пересечением является прямая (а не какая-нибудь другая линия, фигура).

С₃: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести

плоскость, и притом только одну.

Это значит, что если две различные прямые имеют общую точку С, то существует плоскость , содержащая прямые а и b. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.

● Аксиомы выражают интуитивно ясные свойства плоскостей, их связь с двумя другими

основными фигурами стереометрии – с прямыми и точками.

● Рассмотренные аксиомы С₁ – С₃ относятся только к плоскостям, и к ним необходимо

добавить аксиомы о прямых, аналогичные соответствующим планиметрическим

аксиомам.

● Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы

аксиом С.

3.Закрепление изученного материала.

1. № 1,2

4. Итог урока.

- Что изучает стереометрия?

- Какие фигуры в стереометрии считаются основными?

- В виде каких утверждений формулируются свойства основных фигур стереометрии?

- Сформулируйте аксиомы группы С.

5. Домашнее задание.

№3,4