Алгебра. Основы тригонометрии

Похідна. Значення її. Основні закони похідної.

План сьогоднішнього уроку .

• Похідна́ — основне поняття диференціального числення
• Означення похідної. Пояснення визначення
• Приклад
• Позначення
• Позначення Лейбніца
• Позначення Лагранжа
• Позначення Ньютона
• Похідні простих функцій
• Похідні вищих (старших) порядків
• Геометричний зміст похідної
• Фізичний зміст похідної
• Таблиця похідних
• Теорема Ролля
• Рішення прикладів
• Застосування

Похідна́ — основне поняття диференціального числення

Похідна́ — основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Процес знаходження похідної функції називається диференціюва́нням. Зворотним до диференціювання є інтегрування — процес знаходження первісної.

Означення похідної Пояснення визначення

В кожній точці, похідна функції дорівнює нахилу лінії, яка дотична до кривої. Коли похідна додатня — дотична зелена, коли від'ємна — дотична червона, а коли дорівнює нулю — чорна.

Приклад

Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.

«Формула Успеха в бизнесе - эмпирическая, в которой одночлен - главенствующая и не случайная величина, не допускающая уравнения в итоговых результатах и диктующая многочленам их функции.»

Диференціал в математиці — головна лінійна частина приросту функції або відображення.

Го́тфрід Вільге́льм Ле́йбніц

• провідний німецький філософ, логік, математик, фізик, мовознавець та дипломат
• Передбачив принципи сучасної комбінаторики.
• Зробив вагомий внесок у логіку і філософію
• Через кодування намагався створити універсальну числову дескриптивну платформу для всіх наук — прообраз сучасних формальних систем
• Створив першу механічну лічильну машину, здатну виконувати додавання, віднімання, множення й ділення.
• Незалежно від Ньютона створив диференціальне й інтегральне числення і заклав основи двійкової системи числення.

Позначення Лейбніца

похідні вищого порядку позначаються таким чином

для похідної n-го порядку y = ƒ(x) (по змінній x). Цє є скорочення для багаторазового застосування оператора похідної. Наприклад

Через позначення Лейбніца ми можемо записати похідну функції y в точці x = a двома різними способами:

Позначення Лейбніца дає змогу вказувати змінну диференціювання (в знаменнику). Це особливо важливо для часткового диференціювання. В такому позначенні також легше запам'ятати ланцюгове правило:

Жозеф-Луї Лагранж

• Лагранж працював у багатьох областях математики, розвинув нову галузь — варіаційне числення, зробив великий вклад в теорію диференційних рівнянь і методів апроксимації функцій.
• Розроблений ним варіаційний метод знайшов застосування в механіці, яку Лагранж зумів сформулювати, виходячи із принципу найменшої дії.
• Лагранж розвинув і довів до досконалості запропонований Л.Ейлером метод варіації сталих, один з найважливіших в небесній механіці
• Уже в дев'ятнадцять років він запропонував у листі до Леонарда Ейлера метод невизначених множників, одразу ж завоювавши визнання в математичному світі.

Позначення Лагранжа

Позначення Лагранжа одне з найпоширеніших сучасних позначень для диференціювання, що вперше використав Жозеф-Луї Лагранж. Для позначення похідної використовують знак штрих, таким чином похідна функції ƒ(x) позначається ƒ′(x) чи просто ƒ′ подібним чином друга та третя похідна позначаються

Ісаак Ньютон

Ньютон був серед початківців числення нескінченно малих, і в останні роки свого життя вів суперечку з Лейбніцом за пріоритет у цій області. Його математичні дослідження почалися із узагальнення біному на випадок раціональних показників, що привело його до числових рядів. Ньютону належить також ідея використання похідних для знаходження кореня нелінійного рівняння, чим зробив внесок у чисельний аналіз. Запропонований ним метод називають методом дотичних або методом Ньютона.

Звичайні диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння або теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, який розглядає теорію та способи розв'язування диференціальних рівнянь.

Звичайні диференціальні рівняння — це рівняння виду

Позначення Ньютона

Позначення Ньютона для диференціювання, також називається точкове позначення, ставлять крапку над назвою функції для позначення похідної. Якщо y = ƒ(t), тоді

означає відповідно першу та другу похідну функції y по змінній t. Таке позначення застосовується майже виключно для похідних за часом, тобто незалежна змінна функції є часом. Воно дуже поширене у фізиці і математичних дисциплінах пов'язаних з фізикою, наприклад диференціальні рівняння. Хоча таке позначення стає проблематичним у користуванні для похідних високого порядку, на практиці потрібні тільки кілька перших похідних.

Похідні простих функцій

В більшості випадків для того щоб обчислити похідну потрібно знати похідні певних поширених функцій. Нижче наведено неповний перелік з похідних деяких найуживаніших функцій однієї дійсної змінної.

Тут функція визначена тільки для додатних x. Якщо r = 0, це правило повторює правило константи.

Похідні вищих (старших) порядків

Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:

похідна нульового порядку — сама функція

похідна n-го порядку для натурального n , що більше 0, — похідна похідної (n − 1)-го порядку.

Іноді замість « похідна n-го порядку» говорять «n-а похідна ».

Геометричний зміст похідной

Фізичний зміст похідної

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху матеріальної точки. Похідна від миттєвої швидкості руху матеріальної точки дорівнює миттєвому прискоренню.

Таблиця похідних

Мішель Ролль

Займаючись рішенням невизначених рівнянь 1-го ступеня в цілих позитивних числах, Ролль знайшов для нього метод, що стоїть значно вище цього його попередником Баше де Мезириаком.

Ще важливіше роботи Рьолля по предмету чисельного рішення рівнянь і особливо знайдений ним для визначення меж, що містить корінь рівняння, метод каскадів. Відома теорема: «між двома, наступними один за одним, коренями рівняння f'(x) =0 може полягати не більше одного кореня рівняння f(x)=0»

Теорема Ролля

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що стверджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції

Формулювання

Доведення

Застосування

Аналогові (графічні) копії карт і планів є похідними від відповідних цифрових оригіналів.

Чисельність населення

Похідна в хімії