КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Алгебраическая форма комплексного числа.
Числовые множества
- N - натуральные (1, 2, 3, …)
- Z - целые ( –17; +23; …)
- Q - дробные (-35,7; +69,31; …)
- R - действительные (вещественные)
- C - комплексные числа
Число, квадрат которого равен –1 называется мнимой единицей и обозначается i или j
Степени мнимой единицы
Мнимым числом называется произведение мнимой единицы на действительное число.
Примеры: 2j;
-5,3j;
Комплексным числом называется число вида a+bj , где a и b-произвольные действительные числа, j – мнимая единица.
a –действительная часть КЧ;
bj – мнимая часть КЧ
b – коэффициент мнимой части.
z=a+bj алгебраическая форма кч
z=a+bj
a=0
b=0
Мнимое число
z=bj
Действительное число
z=a
Комплексные числа называются равными , если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей.
z 1 =z 2 , если a 1 =a 2 , b 1 =b 2
КЧ равно нулю если равны нулю его действительная часть и коэффициент мнимой части.
z=0 , если a=0 , b=0
z=0+0j
Модулем комплексного числа называется квадратный корень из суммы квадратов его действительной и коэффициента мнимой части.
Найдите модуль кч:
- z 1 =3+4j
- z 2 =2-7j
- z 3 =3-4j
- z 4 =-2-3j
КЧ называются сопряженными , если они различаются только знаком коэффициента мнимой части.
z=a+bj z=a- bj
Модули сопряженных чисел равны.
Являются ли числа сопряженными?
нет
- 7+3j и -7+3j
- 2-5j и 2+5j
- 2,4j+11 и -2,4j+11
- 8+6j и -8-6j
- -7+5j и 7-5j
- 2+3j и 2+3j
- 9-4j и 4j+9
да
да
нет
нет
-7+3j
нет
да
Каждому комплексному числу в комплексной плоскости ставится в соответствие одна, и только одна точка; или один, и только один вектор с началом в начале координат и концом в точке с координатами (a; b).
Ось мнимых чисел
z 1 =2-3j
y j
x=a=2
y=b=-3
z 2
5j
z 2 =-4+5j
x=-4
y=5
2
-4
x
-3j
Ось действительных чисел
z 1
Геометрическая сумма комплексных чисел
y j
z 1 =2-3j
z 2 =4+5j
z 2
5j
z=z 1 +z 2
По правилу параллелограмма
z=z 1 +z 2
2j
z=6+2j
6
2
x
4
-3j
z 1
Геометрическая разность комплексных чисел
y j
z 1 =2-3j
z 2 =4+5j
z 2
5j
z=z 1 -z 2
z 3= -z 2
-2
2
x
4
z=z 1 +z 3
-3j
z 1
z=z 1 +(-z 2 )
z 3
-8j
z=z 1 -z 2
Z=-2-8j
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Складывать и вычитать КЧ можно только в алгебраической форме. Извлечения корня в алгебраической форме не делают.
!
!
!
= -1
z 1 =a 1 +b 1 j z 2 =a 2 +b 2 j
1) Сумма кч
(b 1 +b 2 )j
(a 1 +a 2 )+
a 1 +b 1 j+a 2 +b 2 j=
z 1 +z 2 =(a 1 +b 1 j)+(a 2 +b 2 j)=
2) Разность кч
(b 1 - b 2 )j
(a 1 - a 2 )+
a 1 +b 1 j - a 2 - b 2 j=
z 1 -z 2 =(a 1 +b 1 j)-(a 2 +b 2 j)=
3) Произведение кч
a 1 a 2 +a 1 b 2 j+
z 1 ·z 2 =(a 1 +b 1 j)·(a 2 +b 2 j)=
a 2 b 1 j + b 1 b 2 j 2 =
(a 1 a 2 - b 1 b 2 )+
(a 1 b 2 + a 2 b 1 )j
=a 1 a 2 +a 1 b 2 j+
a 2 b 1 j - b 1 b 2 =
= -1
z 1 =3+5 j z 2 =2-6 j
1) Сумма
5 - j
(3+2)+ (5-6)j=
3+5j+2-6j=
z 1 +z 2 =(3+5j)+(2-6j)=
2) Разность
(3 - 2)+(5+6)j=
(3 - 2)+(5-(-6))j=
z 1 -z 2 =(3+5j)-(2-6j)=
1+11j
3) Произведение
3·2+3·(-6)j+
z 1 ·z 2 =(3+5j)·(2-6j)=
2·5j + 5·(-6)j 2 =
10j – 30·(-1)=
=6-18j+
36-8j
10j + 30=
(6 +30)+(-18+10)j=
= -1
= -1
z 1 =a 1 +b 1 j z 2 =a 2 +b 2 j
Домножаем числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю
4) Деление кч
a 1 +b 1 j
·(a 2 -b 2 j)
a 1 a 2 -a 1 b 2 j+ a 2 b 1 j - b 1 b 2 j 2
(a 1 +b 1 j)
=
=
=
z 1 :z 2 =
(a 2 +b 2 j)
·(a 2 -b 2 j)
a 2 +b 2 j
a 2 a 2 -a 2 b 2 j+a 2 b 2 j - b 2 b 2 j 2
(a 1 a 2 + b 1 b 2 )+ (a 2 b 1 -a 1 b 2 )j
a 1 a 2 -a 1 b 2 j+ a 2 b 1 j + b 1 b 2
=
=
=
a 2 2 +b 2 2
a 2 2 +b 2 2
a 1 a 2 + b 1 b 2
a 2 b 1 -a 1 b 2
=
+
j
a 2 2 +b 2 2
a 2 2 +b 2 2
5) Возведение в степень производится по формулам сокращенного умножения
= -1
= -1
z 1 =3+5 j z 2 =2-6 j
Домножаем числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю
4) Деление
3+5j
(3+5j)
·(2+6j)
3·2+3·6j+ 2·5j + 5·6j 2
=
=
z 1 :z 2 =
=
2 2 - 6 2 j 2
·(2+6j)
(2-6j)
2-6j
(6-30)+ (18+10)j
6+18j+ 10j + 30(-1)
=
=
=
4+36
40
-24
28
7
3
= - 0,6+0,7j
j
+
= -
j
+
=
5
10
40
40
·(-j)
5)
6)
?
z 1 +z 2 =
z 1 =3
z 2 =5j
3+5j
7)
?
z 1 +z 2 =
z 2 =-2j
z 1 =6
6-2j
Свойства сопряженных чисел.
доказать самостоятельно
- Сумма двух сопряженных чисел есть число, равное 2а.
- Разность двух сопряженных чисел есть мнимое число, равное 2bj.
- Произведение сопряженных чисел есть квадрат их общего модуля.
Геометрическое умножение на ± j и на -1
y j
z
z·j
x
z·(-j)
z·(-1)
Геометрическое умножение на ± j и на -1
- Умножению числа на j (-j) соответствует поворот вектора на 90 0 в положительном (отрицательном) направлении (против часовой стрелки) .
- Умножению числа на –1 соответствует поворот вектора на 180 0 .