Алгоритм решения задач на оптимизацию

Алгоритм решения задач на оптимизацию

1. Строим рабочий чертеж, если нужно.

2. Записываем исходную формулу для вычисления величины, оптимальное значение которой надо найти.

3. Одну из участвующих в формуле неизвестных величин обозначаем буквой х и через нее выражаем значения всех остальных величин исходной формулы.

4. Подставляем найденные значения величин в формулу, представляем ее как функцию аргумента х.

5. Задаем в соответствии с условием задачи область определения функции.

6. Для функции аргумента х исследуем функцию на у_наиб (у_наим) в зависимости от того, что требуется в условии задачи на области определения функции.

7. Даем конкретный ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим задачу по алгоритму.

Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см², найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Решение.

2) Запишем формулу для периметра прямоугольника Р= 2(а+в), где а и в – стороны прямоугольника.

3) Обозначим длину прямоугольника: х см, выразим ширину прямоугольника- 9/х см.

4) Подставим эти значения в формулу периметра: Р(х) = 2(х+9/х)= 2х+18/х

5) По смыслу задачи D(Р): х0 и 9/х 0, т.е. х 0

7) Р^'(х)= (2х²-18)/х²; (2х²-18)/х²=0, 2х²-18=0. х=-3, х=3, -3 не принадлежит области определения функции, 3 принадлежит области определения функции.

Если х€ (0; 3), то Р

Если х€ (3; +∞), то Р'0 На интервале (0; +∞) есть только одна стационарная точка х=3- точка минимума. Значит, У_наим достигается при х=3.

Итак, длина прямоугольника равна 3 см, ширина прямоугольника равна 9/3=3 см.

7) Ответ: квадрат со стороной 3 см.