Аликвотные дроби

Из истории аликвотных дробей

Дроби в Древнем Египте

• В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»).

• Египтяне использовали только две дроби не являющиеся долями –

две трети и три четверти.

Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби ½:

Для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет).

Аликвотные дроби

Дроби вида – , где n — натуральное число – единичные дроби или аликвотные (от латинского aliquot – «несколько»).

• Представление аликвотной дроби в виде суммы нескольких аликвотных дробей называют разложением аликвотной дроби.

При решении задач удобно представить дробь в виде суммы двух или нескольких аликвотных дробей. Для этого:

• Числитель и знаменатель дроби умножаем на сумму двух взаимно простых делителей знаменателя;

• Полученную дробь заменяем суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители – слагаемым суммы;

• Если знаменатель – простое число, то умножаем числитель и знаменатель дроби на число, превышающее знаменатель на 1.

ПРИМЕР:

;

ПРИМЕР:

Формула представления дроби в виде суммы аликвотных дробей:

ПРИМЕР:

Если знаменатель дроби составное число, то замену этой дроби суммой аликвотных дробей можно упростить, представив числитель данной дроби в виде суммы делителей знаменателя, плюс минимально возможный остаток.

ПРИМЕР:

1) Аликвотные дроби и удовлетворяют равенству + = .

Тогда = если

2) Аликвотные дроби ; и удовлетворяют равенству + + = . Тогда = если =

Аликвотные дроби

в задачах

5 класс

В стаде 8 овец. Первая съедает копну за 1 день, вторая – за 2 дня, третья - за 3 дня, …, восьмая – за 8 дней. Кто съест быстрее копну сена: две первые овцы или все остальные вместе?

Решение:

Первые две овцы за день съедают 1+ = 1 копны сена. Остальные овцы за день съедают ( + ( + ( ( + ( . Значит, копну сена быстрее съедят первые две овцы.

6 класс

Вычислить значение выражения:

+ + + … +

Решение:

+ + + … + = + + + = = 0,98

8 класс

Соросовская олимпиада:

Можно ли написать пять различных дробей, дающих в сумме 1, таких, что их числитель равен 1, а знаменатель – натуральное число.

Решение:

+ + + + +

Можно, например, + + = 1.

11 класс

Задание №19 ЕГЭ:

Решить в N числах уравнение:

(m n).

Решение:

Число 25 имеет две пары взаимно простых делителей: 1 и 5; 1 и 25. Разложим аликвотную дробь на сумму аликвотных дробей:

= ;

=

Ответ: m = 150, n = 30 или m = 650, n = 26

ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА

На машиностроительных заводах есть очень увлекательная профессия разметчик. Разметчик намечает на заготовке линии, по которым эту заготовку следует обрабатывать, чтобы придать ей необходимую форму. Разметчику приходится решать интересные и подчас нелегкие геометрические задачи, производить арифметические расчеты и т. д.

Задача: "Понадобилось как-то распределить 7 одинаковых прямоугольных пластинок равными долями между 12 деталями. Принесли эти 7 пластинок разметчику и попросили его, если можно, разметить пластинки так, чтобы не пришлось дробить ни одной из них на очень мелкие части».

Решение:

Резать каждую пластинку на 12 равных частей - не годилось, так как при этом получалось много мелких долей. Возможно ли деление данных пластинок на более крупные доли? Оказывается, разметчик представил дробь 7/12 в виде суммы единичных дробей 1/3 + 1/4.