Анализ научной публикации А.А. Прокофьева и В.В. Бардушкина «О различных подходах к вычислению площадей сечений»

Анализ научной публикации А.А. Прокофьева и В.В. Бардушкина «О различных подходах к вычислению площадей сечений»

Шаг 1. Анализ заголовка статьи.

1. Какой главный результат предполагали авторы?

Главным результатом авторы А.А. Прокофьев и В.В. Бардушкин предполагают обобщить и систематизировать сведения о том, как можно наиболее эффективно решать задачи на тему «Вычисление площадей сечений многогранников».

1. Список вопросов, на которые хотелось бы получить ответ при прочтении статьи:

1. Какие существуют методы вычисления площадей сечения?

2. Какими основными характеристиками различаются подходы вычисления площадей сечения?

Шаг 2. Вопросы из анализа статьи.

1. Какие причины обусловливают сложность решения задач, в которых требуется найти площадь сечения?

2. Какие основные определения используются при построении сечений?

3. Какие основные определения используются при построении сечений?

4. Какие утверждения (факты) используются при построении сечений?

5. Какие основные характеристики поэтапно-вычислительного метода?

6. Какие основные характеристики метода применения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника?

7. Какие основные характеристики координатно-векторного метода?

Шаг 3. Записать ответы на поставленные вопросы.

1. Какие причины обусловливают сложность решения задач, в которых требуется найти площадь сечения?

Ответ: Причины:

1. Необходимость чёткого, обоснованного построения многоугольника, являющегося сечением призмы или пирамиды.

2. Вычислительные ошибки.

1. Какие основные определения используются при построении сечений?

Ответ:

1. Следом плоскости α на плоскости β называют прямую, по которой плоскости α и β пересекаются.

2. Секущей плоскости на грани многогранника - это отрезок, все точки которого являются общими точками секущей плоскости и грани.

3. Следом прямой l на плоскости α называют точку, в которой прямая l пересекает плоскость α.

4. След секущей плоскости на ребро многогранника - это общая точка секущей плоскости и ребра.

5. Построить сечение многогранника плоскостью означает построить многогранник, все ребра которого – следы секущей плоскости на гранях многогранника, а его вершины – следы секущей плоскости на ребрах многогранника.

1. Какие основные утверждения (факты) используются при построении сечений?

Ответ:

1. О плоскости, проходящей через прямую параллельную другой плоскости.

2. О параллельности следов секущей плоскости.

3. О пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью.

4. Какие существуют методы вычисления площадей сечения?

Ответ: Виды методов:

• Поэтапно-вычислительный метод.

• Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

• Координатно-векторный метод.

1. Какие основные характеристики поэтапно-вычислительного метода?

Ответ: Как правило в предлагаемых задачах построение заданного сечения многогранника не вызывает трудности у учащихся и представляет собой «простой» многоугольник (треугольник, равнобедренную трапецию и т.д.). В таких случаях, как правило, предпочтительным является подход, связанный с нахождением основных элементов таких многоугольников (сторон, углов), позволяющий по известным формулам планиметрии вычислять их площади.

1. Какие основные характеристики метода применения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника?

Ответ; Определение. Ортогональной проекцией фигуры на данную плоскость называют множество точек пересечений с этой плоскостью перпендикулярных к ней прямых, проходящих через все точки этой фигуры.

Теорема. Если фигура Ф с площадью S_ф лежит в плоскости α, а фигура Ф₁ c площадью S_ф1 является ортогональной проекцией фигуры Ф на плоскость β, имеет место равенство S_ф1= S_ф∙, где 𝜑 – угол между плоскостями α и β.

Данный подход используется в ситуациях, когда нахождение площади S_пр ортогональной проекции многоугольника, полученного в сечении, и угол 𝜑 между секущей плоскостью и плоскостью проектирования сопряжено с меньшими трудностями, чем непосредственное вычисление площади сечения.

1. Какие основные характеристики координатно-векторного метода?

Ответ; Координатно-векторный метод удобно применять в случаях, когда полученный в сечении многогранник является четырёхугольником (или треугольником).

Шаг 4. Составить связанный текст, на основе проведенного анализа.

Проанализировав публикацию А. Прокофьева и В. Бардушкина « О различных подходах к вычислению площадей сечений» в разделе «КОНСУЛЬТАЦИЯ» журнала «Математика в школе»., можно сделать вывод, что лавным результатом авторы предполагают обобщить и систематизировать сведения о том, как можно наиболее эффективно решать задачи на тему «Вычисление площадей сечений многогранников».

В статье выделены причины, по которым возникают сложности при решении задач, в которых требуется найти площадь сечения:

1. Необходимость чёткого, обоснованного построения многоугольника, являющегося сечением призмы или пирамиды.

2. Вычислительные ошибки.

В публикации выделены основные определения, используемы в теме «Вычисление площади сечения»:

1. Следом плоскости α на плоскости β .

2. Секущей плоскости на грани многогранника.

3. Следом прямой l на плоскости α .

4. След секущей плоскости на ребро многогранника.

Выделены основные утверждения (факты), используемы в теме «Вычисление площади сечения»:

1. О плоскости, проходящей через прямую параллельную другой плоскости.

2. О параллельности следов секущей плоскости.

3. О пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью.

В публикации выделены методы, используемые при решении задач на вычисление площади сечения:

• Поэтапно-вычислительный метод.

• Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

• Координатно-векторный метод.

• Комбинированный.

Авторами подробно описаны ключевые составляющие каждого из предложенных методов:

1. Поэтапно-вычислительный метод.

Как правило в предлагаемых задачах построение заданного сечения многогранника не вызывает трудности у учащихся и представляет собой «простой» многоугольник (треугольник, равнобедренную трапецию и т.д.). В таких случаях, как правило, предпочтительным является подход, связанный с нахождением основных элементов таких многоугольников (сторон, углов), позволяющий по известным формулам планиметрии вычислять их площади.

1. Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Данный подход используется в ситуациях, когда нахождение площади S_ф1= S_ф∙, где 𝜑 – угол между плоскостями α и β.ортогональной проекции многоугольника, полученного в сечении, и угол 𝜑 между секущей плоскостью и плоскостью проектирования сопряжено с меньшими трудностями, чем непосредственное вычисление площади сечения.

1. Координатно-векторный метод.

Координатно-векторный метод удобно применять в случаях, когда полученный в сечении многогранник является четырёхугольником (или треугольником).

Особо следует подчеркнуть, что в статье разобраны примеры задач на нахождение площади сечения, ранее используемых реальных вариантов ЕГЭ.

Практическая значимость данной статьи заключается в том, чтобы помочь учителю при подготовке к урокам по данной теме. Но также, помочь ученикам в самостоятельной подготовке для успешного прохождения итоговой аттестации.