Анықталған интеграл және оның қасиеттері

Анықталған интеграл және оның қасиеттері

F(b) - F(a) айырмасын y=f(x) функциясының [a;b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп атайды.

Мұндағы a және b сандары интегралдау шектері: a – төменгі шегі,  ал b – жоғарғы шегі.

Анықталған интегралдың негiзгi қасиеттерi.

Берiлген анықталған интегралдың бар болу шарты орындалады деп есептейiк.

1⁰. Тұрақты санды анықталған интеграл белгiсiнiң алдына шығаруға болады:

                        ,

мұнда k=const .

2⁰. Бiрнеше функциялар қосындысының анықталған интегралы қосылғыштарының анықталған интегралдарының қосындысына тең:

      .

Осы екi қасиет интегралдың сызықтық қасиетi деп аталады.

3⁰. Егер [a;b] аралығын [a;c]  және [c;b] аралықтарына бөлсек, онда

4⁰. Егер интегралдың жоғарғы шегi мен төменгi шегiнiң орындарын ауыстырсақ, онда оның таңбасы өзгередi:

5⁰. Жоғарғы шегi мен төменгi шегi тең болатын интеграл 0-ге тең

6⁰. Егер [a;b] аралығындағы х айнымалысының барлық мәндерi үшiн  болса, онда

7⁰. Егер [a;b]  аралығындағы х айнымалысының барлық мәндерi үшiн  болса, онда

                               .

8⁰. Егер [a;b]  аралығында функциясының ең үлкен және ең кiшi мәндерi сәйкес М және m сандары болса, онда

2. Ньютон-Лейбниц формуласы.

Ньютон Исаак (1643-1727) - ағылшын астрономы, физигі, әрі  математигі. ХVII ғасырда дифференциалдық және интегралдық есептеулерді математикалық практикаға енгізді.

Туындыны дифференциалдау деп атаған және  интеграл белгісін енгізген Лейбниц

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 жж.) – XVII ғасырдағы неміс рухы туғызған терең де жан-жақты дамыған философ. Екінші жағынан, ол - математик, физик, саясаткер, тарихшы, құқықтанушы.

Теорема. Егер F(X) функциясы [a;b]  аралығына f(x) функциясының алғашқы функциясының бiрi болса, онда

        (5)

Бұл теңдiк Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.

Анықталған интегралдарға байланысты мысалдар келтіру.

1-есеп. .

Интеграл астындағы функцияның алғашқы функциясын бөлiктеп интегралдау әдiсiмен тауып және оған Ньютон-Лейбниц  формуласын қолдансақ,

2-есеп. .

Бөліктеп интегралдау формуласы бойынша  болса, онда

3-есеп.                                       

4-есеп.