Арифметическая и геометрическая прогрессии

МУНИЦИПАЛЬТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СТАРОЛАСПИНСКАЯ ШКОЛА»

Н.А.Коссе

I (слайд 2 ) Тему сегодняшнего урока мы узнаем, разгадав кроссворд:

1. Как называется график квадратичной функции?

2. Математическое предложение, справедливость которого доказывается.

3. Упорядоченная пара чисел, задающая положение точки на плоскости.

4. Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся начинают её изучать с 7 класса.

5. Линия на плоскости, задаваемая уравнением у=кх+ b .

6. Числовой промежуток.

7. Предложение, принимаемое без доказательства.

8. Результат сложения

9. Название второй координаты на плоскости.

10. Французский математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром решении квадратных уравнений.

II (слайд 3) Итак, тема урока «Прогрессии». Прогрессия – латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием.

- А почему во множественном числе? Какие знаете прогрессии? Давайте сформулируем цели нашего урока.

Установи соответствие ответы:

1.- 3 7.- 4

2.- 18 8.- 15

3. - 2 9.- 8

4.- 14 10.- 1

5.- 7 11.- 10

6.- 12 12.-14

III (слайд 4 ) историческая справка ( д/з )

IV ( слайды 5-10 ) обобщение теоретического материала

П а р а б о л а

Т е о р е м а

К о о р д и н а т а

А л г е б р а

П р я м а я

И н т е р в а л

А к с и о м а

с у м м а

О р д и н а т а

В и е т

• обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме;
• отработка умений и навыков применения формул n –го члена прогрессии, суммы n первых членов прогрессии;
• развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом;
• развитие познавательной активности учащихся;
• воспитание эстетических качеств и умения общаться; формирование интереса к математике.

В клинописных таблицах вавилонян в египетских пирамидах(второй век до н.в.) встречаются примеры арифметический прогрессий.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (5 в.)применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.

Но правило для нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги Абака» в 1202 г.(Леонардо Пизанский).

1

2

3

4

5

6

1

2

7

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Рекурентная формула арифметической прогрессии

3

8

Формула n -го члена геом. прогрессии

4

9

10

11

5

Разность арифметической прогрессии

12

Формула суммы n первых членов ариф. прог.

6

13

7

Рекурентная формула геометрической прогрессии

14

8

Формула среднего арифметического

15

9

Формула суммы беск. убыв. геом. прогр.

16

10

Формула среднего геометрического

11

Формула n -го члена арифметической прогрес.

12

17

18

Знаменатель геометрической прогрессии

Разность арифметической прогрессии

Прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Последовательность в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему сложенному с одним и тем же числом.

Последовательность отличных от нуля чисел в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему умноженному на одно и тоже число.

Число d - разность прогрессии

Число q - знаменатель прогрессии.

d = a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = a 4 -a 3 =….

q = b 2 : b 1 = b 3 : b 2 = b 4 : b 3 =…

Дано: b 1 = 3, q = 2

Найти: b 3 .

Формула n- го члена прогрессии

арифметической,

геометрической

b n =b 1 q n-1

a n =a 1 +d(n-1)

Дано: a 1 = 7, d = 5

Найти: a 4 ,.

b 3 =12

a 4 =22

0) Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии х 1 , х 2 , 4, х 4 ,14, … найти: х 4 b 1 , b 2 , 1, b 4 , 16, …- все члены положительные числа найти: b 4 Х 4 =9 b 4 =4 " width="640"

Характеристическое свойство прогрессий

Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами последовательности ( b n 0)

Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии

х 1 , х 2 , 4, х 4 ,14, … найти: х 4

b 1 , b 2 , 1, b 4 , 16, …- все члены положительные числа найти: b 4

Х 4 =9

b 4 =4

Формулы суммы n первых членов прогрессий

арифметическая

геометрическая

Дано : a 1 = 5, d = 4

Дано: b 1 = 2, q = - 3

Найти : S 5

Найти: S 4

S 5 = 65

S 4 = - 40

ФОРМУЛА СУММЫ бесконечно убывающей геометрической прогрессии

|q|

2

Найти :

Самостоятельная работа ( тест)

a n

Часть I ( 0,5 балла )

1. Про арифметическую прогрессию (а n ) известно, что а 7 = 8, а 8 = 12. найдите разность арифметической прогрессии.

В) 20

Г) 3

А) -4

Б) 4

1

2. Геометрическая прогрессия задана формулой

1

.

n

0

Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Рис. 1

Б) 18

В) 3

Г) 9

А) -3

3. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1) точками на коорди- натной плоскости. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

Б) 6

Г) 17

А) -7

В) 12

4. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии 4; 8; …

Б) 508

В) 608

Г) - 508

А) - 254

13

0 ) Ответ: b 5 = 72 (задания на 3 балла) 7. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого. Найдите второй и четвёртый члены. Ответ: а 2 =1; а 4 = 7, Количество набранных баллов 1,5 - 2 оценка 2,5 – 4,5 «3» «4» 5 – 7,5 «5» " width="640"

5. Последовательность а n задана формулой

Найдите номер члена последовательности, равного 7.

А) 4

Б) - 2

В) 2

Г) - 4

Часть II (задания на 2 балла)

6. В геометрической прогрессии ( b n ) b 1 = 8, b 3 = 24. Найдите b 5 . ( для q 0 )

Ответ:

b 5 = 72

(задания на 3 балла)

7. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого. Найдите второй и четвёртый члены.

Ответ:

а 2 =1; а 4 = 7,

Количество набранных баллов

1,5 - 2

оценка

2,5 – 4,5

«3»

«4»

5 – 7,5

«5»

• За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день.
• В сборнике по подготовке к экзамену-240 задач. Ученик планирует начать их решение 2 мая, а закончить 16 мая, решая каждый день на две задачи больше, чем в предыдущий день. Сколько задач ученик запланировал решить 12 мая?

• В амфитеатре расположены 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр?

V (слайды 11,12 ) самостоятельная работа (тест с проверкой )

VI (слайд 14 ) решение практических задач

1.Решение:

S₁₆ = ½ (2∙а₁ + 3∙15) ∙16;

472 =16 а₁ + 360;

а₁ = (472- 360):16=7.

а₁₆ =7+ 3 ∙ (16-1)=52.

Ответ: 52 коралла украл Карл в последний день.

2.Решение: 240= ½ (2 а₁ +2 ∙14) ∙ 15;

240:15= а₁ + 14; а₁ = 2;

а₁₁ = 2+2 ∙ 10 = 22.

Ответ:22 задачи надо решить 12 мая.

3.Решение:

280= а ₁ + 20∙(10-1);

а ₁= 280 - 20 ∙ 9 = 100;

S₁₀ = ½ (100+280) ∙ 10 =1900.

Ответ:1900 человек вмещает амфитеатр.

VII ( слайд 16 ) итог урока

Оцените свои знания и умения на

конец урока. Был ли полезен урок

для каждого из вас? Чем?