Арифметическая и геометрическая прогрессии

Конспект урока по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Методы обучения: частично – поисковый, системные обобщения,

Формы деятельности обучающихся на уроке: устная работа, фронтальная работа, самостоятельная работа, самопроверка.

Цель урока: Формирование понятий арифметической и геометрической прогрессий. Решение задач.

Задачи урока:

Образовательные – ввести понятия арифметической и геометрической прогрессий; -

вывести формулы n –го члена арифметической и геометрической прогрессий;

- закрепить умения и навыки применять изучаемые формулы;

Развивающие – вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды, развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Оборудование: доска, компьютер, мультимедийный проектор, презентация по теме урока

Ход урока:

1. Этап актуализации и мотивации

У читель: «Здравствуйте, ребята! Сегодняшний урок я начну словами великого русского классика А.С. Пушкина : (слайд1)

«О, сколько нам открытий чудных …

Готовит просвещенья дух,

И опыт – сын ошибок трудных,

И гений – парадоксов друг»

На сегодняшнем уроке мы продолжим изучать Числовые последовательности и вы сможете самостоятельно сделать по-настоящему чудные открытия в данной области

II. Актуализация знаний учащихся.

1. Давайте вспомним, какую тему мы изучали на прошлых уроках.

( Мы познакомились с числовыми последовательностями.)

Эти знания помогут вам открыть новые знания

2. Как задаются числовые последовательности?

(Числовые последовательности могут задаваться перечислением, словесно, рекуррентным способом, формулой n- члена, таблицей)

3. проверка д/з Как задана последовательность(Рекуррентной формулой)

4. Запишите члены последовательности на доске

1. 1, 2, 3, 4, 5,…

2. 1000;100; 10; 1; 0,1;…

3. 16, -8, 4, -2, 1,

4. 3, 1/3, 3, 1/3, 3

5. 5, 10, 15, 20, 25

5.Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий член?

6.Чему равна разность между вторым и первым членами указанных последовательностей? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?

7. Сделайте вывод, какой будет разность между десятым и девятым членами первой последовательности?

8. Назовите два последующих члена этих последовательностей. Почему Вы так считаете? (Ответы учеников)

9. Объедините некоторые последовательности по общему свойству. Сформулируйте это свойство.

(Предполагаемые ответы: все числовые последовательности можно разбить на 3 группы:

1. Каждый последующий член последовательности , начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

2. Каждый последующий член последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число

3. нельзя установить зависимость.

Содержательный этап

Учитель: Итак, мы выделили 3 группы числовых последовательностей. Сегодня на уроке мы рассмотрим с вами числовые последовательности 1 группы, которые называются арифметической прогрессией, и числовые последовательности второй группы, которые называются геометрической прогрессией.

С ообщается тема урока, записывается в тетрадь и обучающимся предлагается сформулировать для себя учебную цель. слайд2

I II.Слайд немного истории слайд 3-9

У стная работа слайд 10

IV.Определение1 слайд11

Арифметической прогрессией называется такая последовательность,

геометрической в которой каждый последующий член равен

предыдущему,

сложенному с числом

умноженному на число.

a _n+1= a_n+ d b _n+1= b_n* q

е сли для всех натуральных n выполняется равенство

слайд 12

Из определения следует, что

a _n+1- a_n= d b _n+1/ b _n= q

Учитель Чтобы задать АП, ГП достаточно указать ее первый член и d,q

V. Закрепление усвоенного

1) Слайд 13

2

Слайд14

VI. Психологическая разгрузка

У Вас на столах лежат листы, на которых написаны цифры от 1 до 9.

Теперь раскрасьте один ряд двумя разными цветами в любом порядке.

Как я это сделала, показано на слайде.

А пока Вы раскрашиваете, я расскажу про замечательного математика по фамилии Рамсей. Он жил в начале ХХ века. Им была создана теория, доказывающая, что в мире нет абсолютного хаоса. Что даже, казалось бы, самая неупорядоченная система имеет определенные математические закономерности. Вспомните, когда Вы смотрите на звезды, то может показаться, что расположены они в самом случайном порядке. Но еще в древности люди увидели там созвездия Рыб и Касеопеи, Льва и Ориона.

И вот на ваших карточках казалось бы цифры раскрашены в случайном порядке. Но Рамсей доказал, что это не так, доказав следующий факт:

Обратите внимание, что хотя бы три каких – либо числа одного цвета обязательно составляют арифметическую прогрессии. Запишите эти числа.

V II. Определение3 Формула n-го члена арифметической геометрической прогрессии слайд 15

Учитель: Зная 1-й член и d, мы можем найти любой член, вычисляя 2-й, 3-й, 4-й и т.д. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

(2 ученика работают у доски)

Арифметическая прогрессия: Геометрическая прогрессия:

а₁, d в₁,q

а₂ = а₁ + d в₂ =в₁ *q

а₃ = а₂+d =а₁ + 2 d в₃ = в₂ *q = в1* q²

а₄ = а₃ +d = а₁+3 d в₄ =в₃ * q = в₁ * q³

а_n=а₁ + d ( n - 1) в_n = в1 * q^n-1

Формула n-го члена арифметической геометрической

прогрессии

VIII. Закрепление изученного

576, 624 устно

577,625 письменно на доске и в тетрадях

5 80(б), 627(а)

Слайд16

Курс воздушных ванн начинают с 15 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч 45 мин?

РЕШЕНИЕ:

Ряд, составленный из длительностей воздушных ванн является арифметической прогрессией, так как каждое следующее число можно получить из предыдущего, прибавив к нему 10 минут.

Значит: d = 10, a₁ = 15 мин, a_n = 1 ч 45 мин = 60 + 45 = 105 мин

Таким образом, нам нужно найти номер n. Применим формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: a_n = a₁ + d ⋅ (n - 1) 105 = 15 + 10 ⋅ (n – 1)

10n – 10 + 15 = 105

10n = 100

n = 10

ОТВЕТ: 10
630, 631

IX. Первичная проверка усвоения.

- Посмотрим, как вы усвоили новый материал?

М атематический диктант Слайд 17

Математический диктант

П РОВЕРЬ СЕБЯ слайд 18

З а верно решенные 5 заданий теста –«5», за 4 – «4», за 3 – «3», менее 3 – «2»

VI. Рефлексия результативности. Слайд19

Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок сделать чудные открытия?

Д ом.зад слайд20

Слайд21

Ребята , а теперь сами оцените свою работу на уроке.

Учитель выставляет оценки за работу на уроке самым активным учащимся, комментирует отметки.

Спасибо за урок, ребята. Мне кажется, что вы сегодня хорошо потрудились.