Арифметическая прогрессия, 9 класс

Урок открытия новых знаний по теме: «Арифметическая прогрессия»

Класс: 9

Тема и номер урока в теме: «Арифметическая прогрессия», урок 1.

Тип урока: открытие новых знаний.

Используемый учебник: Алгебра, 9 класс (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова).

Цель урока: познакомиться с определением арифметическая прогрессия и её компонентами; научиться использовать приобретенные знания при решении основных типов задач на арифметическую прогрессию.

Задачи урока:

1. Обеспечить осознание и усвоение понятия арифметической прогрессии и ее компонентов;

2. Формирование УУД при решении задач и формировании новых знаний;

3. Способствовать индивидуализации и дифференциации обучения с помощью информационно-коммуникационных технологий.

Планируемые результаты:

Предметные: знать определения арифметической прогрессии, характеристические свойства арифметической прогрессии, формулы п-го члена арифметической прогрессии, формулы для нахождения суммы п первых членов арифметической прогрессии, уметь применять теоретические знания для решения основных типов заданий по теме.

Личностные: стремление к саморазвитию, формирование самооценки

Метапредметные: освоение обучающимися компонентов учебной деятельности, умение учиться в общении со сверстниками.

Формы работы: фронтальная и индивидуальная работы.

Оборудование: компьютер с выходом в интернет, мультимедийный проектор, экран, доска, раздаточный материал, акустическая система.

Ход урока:

1. Организационный момент

Здравствуйте ребята. Садитесь. Запишите в тетрадях число, «Классная работа». Договариваемся: действовать, думать, искать и трудиться в полную силу, и не бояться допустить ошибку!

2. Актуализация знаний учащихся.

На прошлых уроках мы изучали тему «Последовательности» и для того, чтобы приступить к изучению понятия прогрессия, необходимо вспомнить некоторые понятия, для этого дадим ответы на вопросы:

- Какую последовательность мы называем числовой? (Числовой последовательностью мы называем функцию, которая задана на множестве натуральных чисел)

- С помощью каких способов мы можем задать последовательность? (словесный, рекуррентный, аналитический)

- Задайте последовательность словесным способом (Например, последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5. 0; 5; 10; 15; 20; 25; ...)

- Как понять, что последовательность задана рекуррентно? (Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.)

-Объясните, что значит последовательность задана аналитически? (Последовательность задана аналитически, если указана формула его n – ого члена у_n = f(n))

3.Изучение нового материала.

Посмотрите на доску:

1; 6; 11; 16; 21; 26; 31….

- Что вы видите на доске? (числовая последовательность)

- Правильно ребята, эта числовая последовательность, как мы с вами знаем данный ряд чисел бесконечный, чтобы его перечислить нам не хватит жизни. Вот почему числовые последовательности задают формулами.

- Что особенного вы увидели в записи данных последовательностей? (они представлены по возрастанию следующий член больше предыдущего на 5;

- С чего вы взяли, что на 5? (6-1=5; 11-6=5)

-Эту последовательность называют арифметической прогрессией. Это частный случай числовой последовательности. Её обозначают , где а – это член последовательности, а n- его номер в ряду чисел.

- Мы с вами рассмотрели на примере, а теперь давайте посмотрим её в общем виде:

Нам дана числовая последовательность, в которой:

а₁- первый член последовательности,

а₂- второй….

а_n- n-ый член последовательности

d- обозначим разность между последующим и предыдущем членом данной последовательности.

- Давай попробуем ответить на вопрос: «Какую последовательность мы можем назвать арифметической прогрессией?». Попробуйте самостоятельно сформулировать ответ на данный вопрос. (Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией)

- С помощью примера мы увидели, как задается следующий член последовательности, для этого нам необходимо знать первый член прогрессии и разность между последующим и предыдущим членом.

- Что нам необходимо, чтобы найти любой n – ый член прогрессии? Например сотый, тысячный... Допустим, нам дана арифметическая прогрессия: 3;9;15…. Необходимо найти а₁₀₀₀.

- Ребята, скажите, а сможем ли мы сразу сказать, чему оно равно или нам нужно будет подставлять и считать? (для данного метода необходимо огромное количество времени)

- Правильно, если мы будем последовательно суммировать предыдущий член последовательности и разность арифметической прогрессии, чтобы найти тысячный член прогрессии, то потратим большое количество времени.

- Как же посчитать так, чтобы затратить на это мало времени? Для этого нам нужно вывести формулу! Пусть дана арифметическая прогрессия а_n, с первым членом a₁и разностью d, тогда

…..

- Какую увидели закономерность? (Чтобы найти следующий член нужно к а₁ прибавить произведение разности последующего члена и предыдущего на число меньшего на единицу, чем порядковый номер члена прогрессии)

- Как же с помощью формулы записать n-ый член прогрессии?

, где а_n –n-ый член этой прогрессии, a₁– первый член, n- номер члена, d - разность арифметической прогрессии.

- Так как же решить задачу, с которой мы познакомились ранее? Давайте её решим, для этого будем использовать данную формулу. Нам дана арифметическая прогрессия: 3; 9; 15…. Нужно найти а₁₀₀₀.

а₁=3, d=9-3=6 а₁₀₀₀ = 3+(1000-1)6=3+999*6=3+5994=5997

Все правильно! Теперь давайте поработаем с текстом.

- На столах лежит текст о арифметической прогрессии, вам нужно изучить материал и выписать то, о чем мы с вами еще не говорили и прочитать его мне.

Сам текст: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называют арифметической прогрессией.

Число, показывающее на сколько каждый последующий член больше или меньше предыдущего, называют разностью арифметической прогрессии. Разность обозначается буквой d.

N-ый член арифметической прогрессии находиться по формуле:

Арифметические прогрессии подразделяются по способу задания:

Прогрессия может быть убывающей, если в ней разность d

Может быть возрастающей, если в прогрессии разность d 0.

Так же может быть постоянной, если в ней разность d = 0.

- В тетрадь запишите: формулу, по которой мы можем определить является ли прогрессия арифметической; способы с помощью которых мы задаем арифметическую прогрессию, а также формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

4. Закрепление изученного материала.

- Рассмотрев теоретический материал, приступаем к практике. В этом году вам предстоит сдать Общий Государственный экзамен, и задачи с арифметической прогрессией встречаются в заданиях №6. Вот почему при изучении темы нам нужно рассмотреть все типы задач на арифметическую прогрессию. Приступаем к решению.

1) Вы­пи­са­но не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: −6; x; −10; −12; … Чему равен член про­грес­сии, который обо­зна­чен­ бук­вой x.Ре­ше­ние.Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 23.

Ответ: 232) Най­ди­те a₆, если нам известны раз­ность арифметической прогрессии, она равна 3,5 и a₁ = 9,3.

3) Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n): -11, -9, -7... Най­ди­те a₁₃.

4) Первый ряд ки­но­за­ла вмещает в себя 22 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 4 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в седьмом ряду?

5) Дана арифметическая прогрессия 1,3,5,7…. Составим формулу n-го члена.

Дети выполняют решение на месте, а некоторые обучающийся по очереди выполняют у доски.

5. Подведение итогов.

-Какая тема урока у нас сегодня была? Сегодня на уроке мы изучали тему: «Арифметическая прогрессия».

- Что же такое арифметическая прогрессия? Эта числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Спасибо за урок! Урок окончен.

6. Рефлексия

Каждому на парту я положила листочек. На данных листах я напечатала предложения, которые имеют незаконченную мысль. Сейчас вы выбираете любое из предложений и его заканчиваете.

1. Сегодня на уроке я узнал…

2. Для меня было трудно….

3. Мне было интересно…

4. Я выполнял задания… и так далее.