Арифметическая прогрессия. Применение изучаемой темы к решению задач в формате ОГЭ

Тема урока: «Арифметическая прогрессия. Применение изучаемой темы к решению задач в формате ОГЭ»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: сформировать понятие арифметической прогрессии и ее компонентов; научить применять полученные знания при решении заданий ОГЭ

Задачи урока:

Образовательные:

- повторить теоретический материал, выработать навык решения задач с использованием формул нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии;

- отработать навыки решения логических задач;

- проверить полноту и осознанность усвоения знаний учащихся по теме;

- подготовить учащихся к контрольной работе.

Воспитательные:

- актуализировать навыки аккуратности при решении задач;

- развитие математической речи;

- воспитывать ответственность;

- развивать интерес учащихся к предмету.

Развивающие:

- расширить и углубить развитие познавательных процессов личности;

- развивать навыки самоконтроля, взаимоконтроля, умение работать индивидуально;

- развитие памяти, внимания, мышления, математической речи. 

Планируемые результаты:

Личностные результаты:

• готовность и способность обучающихся к саморазвитию;

• навыки сотрудничества в разных ситуациях, умение не создавать конфликты и находить выходы из спорных ситуаций;

Метапредметные результаты.

Познавательные:

• сформированность познавательных интересов, направленных на развитие представлений о применении формул прогрессии при решении заданий ОГЭ;

• умение работать с различными источниками информации, включая цифровые;

• умение преобразовывать информацию из одной формы в другую.

Регулятивные:

• понимание смысла поставленной задачи;

• умение выполнять учебное действие в соответствии с целью.

Коммуникативные:

• сформированность умений ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи;

• умение адекватно использовать речевые средства для аргументации своей позиции;

• умение работать совместно в атмосфере сотрудничества.

Предметные результаты:

в познавательной (интеллектуальной) сфере:

• правильное использование формул к данной задаче.

в ценностно-ориентационной сфере:

• применение новых знаний в новой ситуации;

• объяснение того, что показывает где применить формулу.

Тип урока: закрепление

Формы работы учащихся: индивидуальная и фронтальная работа

Структура и ход урока:

1.Орг.момент. (1-2 мин)

2.Актуализация знаний. (4 мин)

Устный опрос, а затем в  качестве небольшой разминки, предлагается
 Математический диктант с самопроверкой. Один у доски. Затем самопроверка

1.     Запишите определение арифметической прогрессии.

2.     Приведите пример убывающей арифметической прогрессии.

3.     Является ли последовательность четных чисел арифметической прогрессией?

4.     Вставьте пропущенный член арифметической прогрессии: 6;…;14;18;…

5.     Найдите разность арифметической прогрессии: 6,5;7,3;8,1;…

6.     Какой формулой может быть задана арифметическая прогрессия?

7.     Найдите десятый член арифметический прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность равна 4.

8.     Запишите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии для случая, когда известны первый и n-й члены прогрессии.

9. Запишите формулу, выражающую свойство арифметической прогрессии: «каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов».

Критерии оценивания: «5» - 9 верно отвеченных вопросов

«4» - 7-8 верно отвеченных вопросов

«3» - 5-6 верно отвеченных вопросов

«Выучить материал» - 1- 4 верно отвеченных вопросов

3. Применение знаний об арифметической прогрессии в других областях, через задания ОГЭ. (6 мин)

Сфер жизни человека, где встречается арифметическая прогрессия, бесчисленное множество.

Ребята, к сегодняшнему уроку вы все были поделены на группы, каждая группа получила индивидуальное домашнее задание. Вы все искали материал о применении знаний арифметической прогрессии в других областях, через задания ОГЭ. Вы должны были найти  сведения и доказать на примерах, как арифметическая прогрессия применяется в других науках. Первыми слушаем группу, которая искала связь между арифметической прогрессией биологией и химией.

а) в биологии и химии

Задача 1. При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,5 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя восемь минут после начала реакции.

Решение: а₁ = 0,5 - столько граммов осадка образовалось спустя  одну минуту, а₈ - неизвестное количество осадка, образовавшегося спустя восемь минут, d = 0,5 - на столько каждую минуту увеличивается масса осадка. Формула n-ого члена арифметической прогрессии а_n = a₁ + d(n - 1). а₈ = 0,5 + 0,5(8 - 1) = 0,5 + 3,5 = 4. Ответ: 4.

Задача 2. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползает 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания.

Решение.

a₁ =30, d=5, S_n= 525, n0.

S_n= (2a₁+ d (n-1))n:2; 525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n;

1050= 55 n + 5n²;  

n² +11 n -210=0, n₁=-21, n₂=10 (n0).

Ответ: улика достигнет вершины за 10 мин.

4. Физкультминутка (2 мин)

Слово предоставляется учащимся 2 группы, которые должны были найти связь между арифметической прогрессией и физикой.

 б) в физике

Задача 1. При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.

Дано:(а_n) – арифм.прогрессия, а₁=4,9, d = 9,8

Найти: S₅ - ?

Решение:

Ответ: 122,5 м

Задача 2. Грузовик перевозит партию груза массой 176 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и тоже число тонн. Известно, что в первый день было перевезено 6 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено в последний день, если вся работа была выполнена за 11 дней. Решение: Значения массы щебня, перевезённого за один день, образуют арифметическую прогрессию. Число членов этой прогрессии 11. Первый член прогрессии равен 6. Сумма всех 11 членов прогрессии равно 176. Воспользуемся формулой суммы n членов прогрессии, подставим в неё имеющиеся данные:

Ответ: 26

 в) в медицине

Задача 1. В медицине: Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Дано:(а_n) – арифм.прогрессия, а₁=5, d =5, а_n= 40 Найти: n - ? Решение. Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 аn = а1 + d(n – 1), 40 = 5 + 5(n – 1), n = 8, Sn = ((a1 + aп)n)/2, S8 = (5 + 40)/8:2 = 180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180 + 40 + 180 = 400 (капель), всего больной выпьет 400:250 = 1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька

Задача 2. Курс воздушных ванн начинается с 15 минут в день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их в максимальной продолжительности 1 ч 45 мин.?

Дано:(а_n) – арифм.прогрессия, а₁=15, d =10, а_n= 105

 Найти: n -?

 Решение: а_n=а₁+d(n-1),

 105=15+10(n-1),

 n=10,

 Ответ: 10 дней.

5. Работа по разно уровневым карточкам (6 мин)

Карточка 1. В первом ряду кинозала 50 мест, а в каждом следующем на 1 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в седьмом ряду?

Карточка 2 Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x. 1) …; 11; х; 19; 23; …

7. Самостоятельная работа (14мин)

8. Домашнее задание: В рабочих листках ОГЭ найти и решить 5 задач на применение арифметической прогрессии в быту. (1 мин)

9. Итоги урока.  (2 мин)

Итак, мы сегодня говорили о прогрессии, которая называется арифметической.

- Какие открытия Вы для себя сделали?

- Пополнили свои знания, поговорили о применении этих знаний в других областях науки; сфер жизни человека, где встречается арифметическая прогрессия, бесчисленное множество.

- Впереди нас ждет знакомство с другой прогрессией – геометрической, и я надеюсь, что знакомство с ней вас тоже не разочарует.

Методическая литература и ЭОР

А.Г.Мордкович «Алгебра 9», учебник, «Мнемозина», 2010

А.Г.Мордкович «Алгебра 9», задачник, «Мнемозина», 2010

Л.А.Александрова, «Самостоятельные работы. Алгебра 9», «Мнемозина», 2010

Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 9 класс. Задачи для обучения и развития учащихся. – М.: Интеллект-Центр, 2006.

Энциклопедия для детей. – М., Аванта +, 1997.

Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М., Просвещение, 1981.

http://ru.wikipedia.org

http://fcior.edu.ru/card/1997/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-svoystvo

http://math.oge.sdamgia.ru/test?theme=9

http://www.bryanskedu.net/metodik/math/didakt/