«Арифметическая прогрессия».

VII районная научно — практическая

Конференция школьников

«Первые шаги в науку»

Секция:

«Математика».

Тема:

«Арифметическая

прогрессия».

Автор:

Миронец Маргарита

ученица 9 «В» класса

МОУ СОШ №20

имени Н.Е.Чернышева

станицы Казанской

Кавказского района

Краснодарского края

Руководитель:

Бондаренко Евгения

Леонидовна, учитель

математики первой

квалифицированной

категории

МОУ СОШ№20

имени Н.Г.Чернышева

станицы Казанской

Кавказского района

Краснодарского края.

Ст. Кавказская

2010г.

Содержание:

Аннотация……………………………………………………………………………………….. 3

Введение …………………………………………………………………………………………4

1.Определения и формулы……………………………………………………………………... 6

2. Примеры решения заданий на Тему: «Нахождение разности, суммы и п-го члена

арифметической прогрессии»………………………………………………………………….. 8

З. Решение задач на формулы арифметической прогрессии……………………………….. 10

Заключение…………………………………………………………………………………….. 11

Литература……………………………………………………………………………………... 12

Аннотация.

Тема актуальна, имеет широкое практическое применение. Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Автор стремится, раскрыть в полной мере свои познания в этой области умело совершает экскурс в историю, решал задачу немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Хотя задачи на нахождение последовательностей начинают решать в 9 классе, автор выбрал эту тему, потому что математика имеет постоянно дело с бесконечностью. Опровержение известного изречения Нельзя объять необъятное, мы не только научимся задавать такие необъятные объекты, как бесконечные последовательности, но сумеем выделить некоторые их группы, такие как арифметическая прогрессия, но и опишем отдельные свойства. Знание свойств арифметической прогрессии позволяет решить немало различных задач. В работе автор уделил достаточное место теме арифметическая прогрессия: определению, свойствам делает вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Рассмотрены примеры решения заданий на тему:

«Нахождение разности, суммы и n-го члена арифметической прогрессию». Решены задачи на формулы арифметической прогрессии.

Автор исследует актуальную тему математики, решал сознательно задачи об арифметической прогрессии. Тема дана блоком. Идет отработка вычислительных навыков, даны задания трех уровней сложности, в том числе предлагаемые на ЕГЭ. Затем идет отработка применения знаний при решении задач практического содержания.

В работе подробно освещена теоретическая часть, доказаны теоремы, рассмотрен аналитический способ решения арифметической последовательности.

Особый интерес у автора вызвало решение нестандартных задач. Приведены примеры решения последовательности из сборника Подготовка к «малому ЕГЭ)» М.: Эксмо, 2008. Использована обширная литература. Данная работа заслуживает интерес, и лишь начало в исследовании важной и интересной темы. Эти исследования обеспечат молодому автору развитие математических способностей и знаний.

(Бондаренко Е.Л.)

Введение.

Я выбрала эту тему потому, что людям свойственно подмечать закономерности в окружающих явлениях.

С последовательностями люди столкнулись в древнейшие Времена, считая тройками, десятками, дюжинами....

Мир чисел — не исключение. Простейших навыков счета достаточно, чтобы подметить систему в последовательности: 1, 7, 13, 19... или 1, 2,4, 8...

Встретив новое понятие, хочется узнать о происхождении названия. Почему прогрессия? Почему арифметическая?

Ответ на первый вопрос почти очевиден. Члены такой последовательности все время прогрессируют на одно и тоже число (1, т.е. либо все ниже опускаются (при ddО). Возможно, конечно, когда (1=0, это последовательность из одинаковых чисел.

Ну, а арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним — предыдущего и последующего.

Цель работы:

Рассмотреть определение и свойства арифметической прогрессии. Уделить внимание выводу формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Рассмотреть примеры решения заданий на тему: «Нахождение разности, суммы и n-го члена арифметической прогрессию», раскрыть в полной мере свои познания в этой области; совершить экскурс в историю, решить задачу немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Решить задачи на формулы арифметической прогрессии.

Задача:

Сознательно овладеть системой знаний и умений об арифметической прогрессии.

Рассмотреть свойства и задания на тему: «Нахождение разности, суммы и n-го члена арифметической прогрессии», сознательно решить задачи об арифметической прогрессии.

1.Определения и формулы.

Определение: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида:

a_n=kn+b, (1)

где k и b — некоторые числа.

Верно и обратное, что последовательность (а_n ), заданная формулой вида:

a_n=kn+b,

где k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n-1)-го и n-го членов последовательности (а_n ):

а_n+1- a_n =(n +1)+ b —(kn+b)= kn+k+ b - kn - b = k.

Значит, при любом n справедливо равенство а_n+1=а_n + k, и по определению последовательность (а_n) является арифметической прогрессией, причем разность этой прогрессии равна k

Рассмотрим последовательность (а_n), каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом а, называемым разностью прогрессии. Чтобы найти разность арифметической прогрессии нужно из второго члена вычесть первый:

d=а₂—а₁ (2)

Также для нахождения разности верно неравенство:

d = а_n+1 - a_n (З)

для любого натурального числа n характерна рекуррентная формула:

а_n+1 = a_n + d(4)

где d — некоторое число.

Легко найти явное выражение a_n через n. При переходе к очередному элементу его значение возрастет на разность — по сравнению с предыдущим. Чтобы добраться от первого члена прогрессии до n-го, нужно n-1 таких переходов, вследствие чего a_n , превышает а₁ на (n-1) d, 1т.е.

а а₁ на - (n -1) d. (5)

Последнее равенство позволяет вычислить сумму n —первых членов арифметической прогрессии: S _n а₁+ а₂ + .. .+ а_n-1 + a_n

Говорят, немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, еще, будучи школьником, сумел за считанные секунды найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Он заметил, что суммы равностоящих от концов чисел равны: 1+100 = 2 +99 = 3 +98=.. .=50+51=101.

Всего получается 50 пар чисел, и сумма каждой пары 101, поэтому общая сумма 50*101= 5050.

действительно, последовательность натуральных чисел является арифметической прогрессией. Здесь а₁ = d и d =1.

Гаусс рассматривал четное количество слагаемых, поэтому он сумел разбить их на пары. У нас же n любое натуральное число. Неужели придётся рассматривать отдельно случаи чётного и нечётного n? Нет, сделаем по-другому. Возьмем ещё одну такую же сумму, но слагаемые запишем в обратном порядке:

S _n = a_n+ а_n-1+…+ а₁₊ а₂

далее, сложим её почленно с исходной суммой, причём слагаемые сразу попарно

сгруппируем. Получим

2 S _n = (а₁ + a_n) + (а₂+ а_n-1)+...+( а_n-1 +а₂)+( a_n +а₁).

В каждых скобках заключена сумма двух равноотстоящих от концов членов прогрессии, которая, как мы знаем, равна 2 а₁ + (n -1) d . Всего же таких сумм n, поэтому

2 S _n =n (2а₁+(n -1) d) = 2na₁ + n (n -1) d,

Откуда (6)

Таким образом, сумма n первых членов арифметической прогрессии выражается через первый член и разность. Арифметическая прогрессия возрастает пропорционально n, а сумма первых n её членов - гораздо быстрее, примерно как n ² /2. И это не случайность, а «далёкий отзвук интегрального исчисления. Теперь найдём выражение для суммы первых n членов арифметической прогрессии, если известны лишь первый и последний члены, т. е. аi и а Рассмотрим ещё раз равенство

2 S _n = (а₁ + a_n)+(а₂+ а_n-1)+...+( а_n-1 +а₂)+( a_n +а₁).

Суммы в каждой из скобок равны между собой, значит,

2 S _n = n(а₁ + a_n),

S _{n =} (7)

Наконец, дадим ещё более простое выражение для S _n пригодное, правда, лишь для нечетных n, т.е. для n = 2k — 1. Поскольку при этом 1+n1+(2k-1)= 2k=k+k, то в силу раннее найденною свойства арифметической прогрессии а₁ + а_n = а_k+ а_k=2 а_k

Поэтому S _{n =} S _{n =} n _* а_k (8)

2. Примеры решения заданий на тему: «Нахождение разности, суммы и n-го члена арифметической прогрессии».

Пример 1 При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12

бревен?

Дано: а. n: а₁₌12, а₂ =11, a_n = 1

Найти : S _n - ?

Решение : а а1 + — , где — а1 1

12+( n—1)(-1) =1

12 - n+1=1

2) Найдем S _n

S _{n =}

S _n =

Ответ : 78 бревен в одной кадке.

Пример2 Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения”.

Дано: а. n: а₁ = 49м, d₁ =9,8м n₁= 5с.

Найти : S ₅ - ?

Решение:

S _{n =}

S _{5 =}

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

Пример З Сколько отрицательных членов содержит арифметическая прогрессии (а_n):

-18; -17,3;...?

Нам требуется найти отрицательные члены прогрессии, т.е. требуется найти n. Запишем формулу n-го члена для данной прогрессии, аn = -18 + (n -1) d.

Найдем разность прогрессии:

d = а₂ — а₁

d= -17,3— (-18)=0.7.

Подставим значение d в формулу n-го члена: а -18 + 0,7 (n-1). Так как n члены

прогрессии отрицательные, то они будут меньше 0, т.е. а _n

Решим неравенство, а _n

-18+ 0,7 (n-1)

-18,7 + 0,7 n

7 n

n

Значит, двадцать шестой член прогрессии — последний отрицательный член прогрессии, а двадцать седьмой — положительный. В этом можно убедиться, используя формулу n-го

члена.

a₂₆ = 18+ 0,7 (26-1) = - 18 +0,7*25 = -0,5

а₂₇= 18+0, 7(27-1) = - 18 +0,7*26=0,2

Ответ: 26.

Пример 4 В арифметической прогрессии (а _n ) а₁ -5, a₁₅ -30.

Найдите сумму пятнадцатых членов прогрессии.

Сумму пятнадцатых членов прогрессии найдем по формуле нахождения суммы n-го члена арифметической прогрессии:

S _{n =} S _{15 =}

Ответ: S ₁₅=262,5.

Пример 5 Известно, что в арифметической прогрессии (a_n ) а₁ +а₅ = -4, а₂*а₆= -16. Найдите разность и первый член прогрессии.

По условию известно, что

Чтобы решить систему уравнений, выразим каждый из членов прогрессии через а₁ и d.

Используем формулу n-го члена для а₂, а₅, а₆.

а₂ = а₁ + d

а₅ = а₁ + 4 d

а₆=а₁ + 5 d

Подставим в систему:

Решим систему методом подстановки, для этого выразим из первого уравнения а₁ и

подставим во второе уравнение:

Решим второе уравнение системы — квадратное уравнение относительно переменной 1.

(-2 - d) * (-2 +3d) = -16

4+ 2 d - 6 d – 3d²=-16

-3d²+4d+20=0

3d²+4d-20=0

Его корни: 2 и -3 .Система имеет два решения:

Ответ :

З. Решение задач на формулы арифметической прогрессии.

Задача 1

Хозяин нанял работника на неделю (с понедельника по воскресенье включительно), повышая ему каждый день зарплату на одну и ту же величину. Сколько всего получил работник, если за четверг ему заплатили 3 рубля?

В этой задаче угадывается арифметическая прогрессия, но кажется, что не хватает данных. Известно только число членов n = 7 и значение четвертого члена а₄ = 3. Зная разность прогрессии или первый член, мы легко определили бы все что требуется. А так не найдем.

И все - таки попробуем ее решить. 1 способ.

Пусть а — первый член прогрессии, а d — разность. Запишем заработок по дням в виде таблицы:

За неделю работник получил 7а +21 d = 7(а +3 d). Но а +3 d —это оплата за четверг, т.е. 3 рубля. Значит, всего он заработал 21 рубль.

2 способ.

Зарплата за неделю — это сумма нечетного числа первых членов арифметической прогрессии. Заметим, что если нужно найти сумму 7 членов, то 4-Ый член как раз является средним. Поэтому можно применить формулу

S _n = n *ak

где n= 2k— 1. Так что общая зарплата за неделю равна 7а₄ =7*3= 21 рубль.

Ответ: 21 рубль.

Задача 2

Турист, поднимаясь в гору, достиг в первый час высоты 580м., а каждый следующий час поднимался на высоту на 40м. меньшую, чем предыдущий. Через сколько часов он достигнет высоты 2500м?

Высоты, на которые поднимался турист каждый час, образуют арифметическую прогрессию с первым членом равным 580 и разностью — 40. Пусть n — количество часов, через которое он достигнет высоты 2500м, тогда по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии, получаем

S _{n =} 2500_{= 2}

В результате получаем квадратное уравнение 20n² — 600n + 2500 =0. Решаем уравнение и находим корни n=5 и n= 25. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 5часов.

Заключение.

В ходе проведенного исследования была проведена большая работа по изучению и овладению знаниями об арифметической прогрессии.

В опровержение известного изречения «Нельзя объять необъятное», мы не только научились задавать такие необъятные объекты, как бесконечные последовательности, и сумели вычислить некоторые их группы, но и описали отдельные свойства. Знание свойств арифметической прогрессии позволяет решить немало различных задач. Однако настоящая революция в постижении природы бесконечности связана с понятием предела.

Литература.

1. Математика: 9 класс : Подготовка к «малому ЕГЭ» / М.Н.Кочагина, ВВ.Кочагин.

М.: Экемо, 2007.

2. Алгебра. 9 класс. Итоговая аттестация — 2008. Под ред. Ф.Ф. Лысенко. — Ростов- на- Дону; изд-во «Легион», 2007.

З.Большой справочник школьника. 5- 11 классы. — 2-е изд. — М.: дрофа, 1999. 4.Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Под ред. Е.А. Семенко. — Краснодар:

«Просвещение — Юг», 2005 .Ч. 1.

5. ЕГЭ: Математика: Супер репетитор. — М.: Эксмо, 2006.

6.Эциклопедия для детей Т. 11. Математика/глав. ред. 368 М. д.Аксенова — М.: Аванта

+,2000.

Приложение