Арксинус,арккосинус

Теория:

Что такое синус угла х ? Это отношение противолежащего катета к гипотенузе: sinx = а/с

Что такое косинус угла х ? Это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosx= в/с

Что такое тангенс угла х ? Это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgx = а/в

Что такое котангенс угла х ? Это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgx = в/а

Отношения сторон никак не зависят от их длин (при одном угле х), но резко зависят от этого самого угла! И только от него. Поэтому термины

синус, косинус, тангенс и котангенс

относятся к углу.

Угол здесь - главный.

Основные тригонометрическое тождества

Вспомогательные тождества

Практическая часть

1. Вычислить значение tgА, если ctgА = 0,4.

2. β - угол в прямоугольном треугольнике. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13.

3. Определить синус острого угла х, если tgх = 4/3.

4. Найти значение выражения:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Найти значение выражения:

(1-cosx)(1+cosx), если sinх = 0,3

Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

6. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а

7. Определить sinх, если tgх = 4/3, а х принадлежит интервалу (- 540°; - 450°). 8. Найти значение выражения sinβ·cosβ,

если ctgβ = 1.

Арксинус, arcsin

Арксинус ( y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).

Он имеет область определения

 – 1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  

– π/2 ≤ y ≤ π/2. sin(arcsin x) = x    

arcsin(sin x) = x    

Арксинус иногда обозначают так:

График функции арксинус

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   на котором функция монотонна.

Такое определение называют главным значением арксинуса

Арккосинус, arccos

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  0 ≤ y ≤ π. cos(arccos x) = x    

arccos(cos x) = x    

Арккосинус иногда обозначают так:

График функции арккосинус

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:

arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:

arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos( π– arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Основные свойства арксинуса и арккосинуса

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения

арксинусов и арккосинусов, в градусах и

радианах, при некоторых значениях

аргумента.

Формулы

Формулы суммы и разности

1 б) arcsin (- пи/2) нет, I - π/2 I1 в) arcsin( - пи/3) нет, I - π/3 I1 г) arcsin( -3/4) да, I -3/4 Iд) arcsin √ (5/2 ) нет, I√ (5/2) I1 и) arcsin( -√( 17/2) нет, I -√ (17/2 ) I1 " width="640"

Практическое применение

Имеет ли смысл запись:

а)arcsin пи; б)arcsin -пи/2 в)arcsin -пи/3 г)arcsin -3/4 д)arcsin квадратный корень из 5/2 и)arcsin -квадратный корень из 17/2

Ответы:

а) arcsin( пи); нет, π1

б) arcsin (- пи/2) нет, I - π/2 I1

в) arcsin( - пи/3) нет, I - π/3 I1

г) arcsin( -3/4) да, I -3/4 I

д) arcsin √ (5/2 ) нет, I√ (5/2) I1

и) arcsin( -√( 17/2) нет, I -√ (17/2 ) I1

Имеет ли смысл выражение:

a) arccos π; в) arccos (—√3); б) arcsin (3 - √20);   Ответы:

Вычислить