Батыс Қазақстан облысының білім басқармасы МКҚК «Сервис және жаңа технологиялар колледжі»Қарапайым және оларға келтірілген логарифмдік теңдеулерді шешу.Альмуханова Мендигыз Мутиголиевна

«Логарифмдерді ойлап табу,

астрономдардың жұмысын жеңілдетіп,

олардың өмірін ұзартты».

Лаплас

Сабақтың тақырыбы: Қарапайым және оларға келтірілген логарифмдік теңдеулерді шешу

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Студенттерге логарифмдік теңдеулерді шешудің әдістерін оқытып-үйрету. Логарифмдік теңдеулерді шешу жолдарының тиімді тәсілдерін есеп шығаруда қолданып , білім, біліктіліктерін арттыру.

Дамытушылық: Тақырыпқа сәйкес есептер шығарту арқылы студенттердің логикалық ойлау қабілеті мен ой-өрісін дамыту, студенттердің өз ойын тиянақты жеткізе білу, нақты сұрақ қойып, қойылған сұраққа дәл жауап бере білу қабілеттерін дамыту.

Тәрбиелік: теориялық білімдерін практикада ұштастыра отырып, ойлау және есте сақтау, танымдық қабілеттерін дамыту.

Сабақтың типі: Жаңа білім беру сабағы

Сабақтың көрнекілігі: Мультимедиялық проектор

Презентациялар

Сабақтың эпиграфы

Пәнаралық байланыс: физика, биология,астрономия,музыка

І. Ұйымдастыру кезеңі

Амандасу, студенттердің қатысуын және аудиторияның дайындығын тексеру

ІІ. Білімдерін тексеру

Мұғалімнің кіріспе сөзі

Төменгі сыныптарда сызықтық функция,кері пропорционалдық, квадраттық функция,тригонометриялық функция және көрсеткіштік функциялар туралы мағлұмат алған болатынбыз.Бүгінгі сабағымызда математиканың ең іргелі,ең маңызды, ең қызықты тарауларының бірі логарифмдік функциялар тарауын әрі қарай жалғастырамыз.

IIІ.Проблемалық ситуация.

Логарифмдерді 16-ғасырда күрделі есептеулерді жеңілдету мақсатында шотландиялық прибор ойлап табушы Джон Непер ойлап тапты.Осыдан ондаған жылдар бұрын логарифмдік сызғышы жоқ инженерлерді елестетудің өзі қиын болатын Жылдар өте есептегіш калькуляторлар пайда болды,компьютерлер келді.Бірақ логарифмдік сызғышсыз бірде-бір есептеу техникасы болмаған болар еді. Қазір түрлі есептеу техникасының дамыған ғасыры, ендеше осы логарифмдерді оқып-үйренудің қажеті бар ма? Бүгінгі таңда логарифмдерді не үшін оқимыз? Жалпы математиканың көмегімен табиғатты және өзіңді басқару мүмкін бе?Бүгінгі сабағымызда осы сұрақтарға жауап береміз.

Логарифмдер тақырыбына берілген есептерді шешу үшін,негізгі логарифмдік тепе- теңдікті, логарифмнің қасиеттерін жақсы білу керек.

1.Біз алгебраның қандай тарауын оқып жатырмыз?(логарифмдік функция)

2.Осы тарау бойынша нені білеміз?( Логарифмнің анықтамасы,логарифмдік негізгі тепе-теңдік,логарифмнің қасиеттерін, логарифмдік функция)

1.Логарифмнің анықтамасы

log_ab =x a^x =b

2.a ^{loga b}=b-негізгі тепе-теңдік b0 a0 a≠1

3.log₁₀b=lgb – ондық логарифм

4.log_e b=lnb – натурал логарифм e ≈ 2.7…

5. 1. a ^log _a^b = … b

2. log _a a =…. 1

3. log _a 1= … 0

4. log _aⁿ b=…. 1/n log _a b

5. log _a b ^m =… m log _a b

6. log _a b + log _a c =… log _a b c

7. log _a b - log _a c =.. log _a b/c

8. m log _a b=… log _a b ^m

9. log _a 1/a =… -1

10. log _a bc =… log _a b + log _a c

11. . log _a b/c =.. log _a b - log _a c

12. ( log _c b) / (log _c a )=… log _a b

13 у = log _a х функциясының анықталу облысы D(х)=R+

14. у = а ^х функциясының анықталу облысы D(х)=R

- Енді осы тарауда алған теориялық білімімізді практикада қолданып көрейік.

Ауызша есептейік:

1. log₈8=

2. log₅ 125=

3. log₃ 9=

4. lg0.01=

5. log₂ 8=

6. log ₃ 1 /3=

.Осы кезге дейін әртүрлі теңдеулермен таныс болдыңдар.Қандай теңдеулерді білесіңдер?

1.Сызықтық теңдеу

2.Бөлшек рационал теңдеу

3.Иррационал теңдеу

4.Тригонометриялық теңдеу

5.Көрсеткіштік теңдеу

6.Логарифмдік теңдеу

IV-Жаңа тақырып : Логарифмдік теңдеу және оны шешу тәсілдері

Айнымалысы логарифм таңбасының астында болып келген теңдеуді логарифмдік теңдеу деп атайды. : log_af(x)= log_ag(x), (a0, a1, f(x)0, g(x)0)

Логарифмдік теңдеуді шешу анықталу облысын табудан басталады. Логарифмдік теңдеулерде логарифмдерді олардың негіздері тең болатындай етіп түрлендіреміз. Содан кейін теңдеу жаңа айнымалымен белгіленетін қандай да бір логарифм арқылы өрнектеледі немесе теңдеу потенциалдауға қолайлы түрге түрлендіріледі.

Логарифмдік теңдеулерді шешу әдістері

1.Потенциалдау әдісі

2.Бір негізге көшу әдісі

3.Мүшелеп логарифмдеу

4.Жаңа айнымалы енгізу

5.Негізгі логарифмдік тепе-теңдікті қолдану

1. Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын теңдеулер.

  log_ax=b 

log_ax=b⟺x=a^b

Мысал - . log_x(x³-5x+10)=3 теңдеуін шешейік.
Шешуі: Логарифмнің анықтамасы бойынша x³-5x+10=x³, онда бұл теңдеудің шешімі  x=2.
Табылған айнымалының мәнін теңдеуге қойып тексереміз:
log₂(2³-5*2+10)=log₂8=log₂2³=3log₂2=3
Демек, x=3 мәні теңдеуді қанағаттандырады.              
Жауабы: x=2.

2.Логарифмнің қасиеттерін пайдалана отырып, теңдеуді потенциалдау арқылы шешу.

• 2. Логарифмнің қасиеттерін пайдалана отырып, теңдеуді потенциалдау арқылы шешу.

• log_a f(x) = log_a g(x) түріне келтіру.

• Мысалы:

• lg(x + 5) – lg(x² - 25) = 0

• x + 5 0 н/се x + 5 0 x - 5

• x² – 25 0 (x-5)(x+5) 0 x5

• x айнымалысының мүмкін болатын мәндер жиыны: (5; +∞)

• lg(x+5) = lg(x²-25)

• x+5 = x²-25

• x² – x – 30 = 0

• D = 1 + 120 -121

• x₁= 6

• x₂= -5 Жауабы: 6

Ауызша есептеуге арналған тапсырмалар:

3. Жаңа айнымалы енгізу

Теңдеуді шешіңіз

Шешуі: деп өрнектейміз. Берілген теңдеудің орнына теңдеуін аламыз. Сонда теңдеудің түбірлері және

1. болғанда , яғни

2. болғанда , яғни Жауабы:

V-Деңгейлік тапсырмалар:

Оқулықпен жұмыс.

_{І деңгей (А)}

_{№229 (1,4)}

_{№231 (1)}

_{І деңгей (В)}

_{№229 (2,3)}

_{№231 (2)}

_{ІІ деңгей (А)}

1. 

2. _І

_{ІІ деңгей (В)}

1.

2.

VI-Тарихи мағлұмат

Есептеу тәсілдерін жетілдіру XVII ғасырдың өзекті сұрақтарының бірі болып табылды. XVI ғасырдың екінші жартысында сауда жасау географиясын кеңейту үшін Англия, Франция, Голландия сияқты мемлекеттерге қарапайым есептеулер жүргізетін инженерлер мен «арифметиктерге» деген үлкен сұраныс болды. Логарифмді ойлап табу – есептеу техникасының үлкен жетістігі. Күрделі тригонометриялық кестелермен жұмыс істеуді жеңілдету мақсатында XVI ғасырдағы кейбір математиктер арифметикалық және геометриялық прогрессияларды салыстырумен айналысты. Осы бағытта үлкен жетістіктерге қол жеткізген – шотландық математигі 1614 жылы Джон Непер логарифм кестесін ойлап тапқан болатын. Логарим белгісінің алғашқы нұсқасы log белгілеуін 1624 жылы неміс астраномы Иоганн Кеплер.ал

логарифмдік сызғышты Гунтер ойлап тапты.

Логарифм (грекше logos — қатынас және arіthmos — сан). Логарифм белгіленуі: log. Логарифмнің жалпы түрі: Log_ab . Логарифм түрлері: ондық lg және ln натурал логарифм жайлы да айтуға болады. е саны иррационал сан, e≈2.718.

VIІ-Логарифм біздің айналамызда.

« Логарифм және табиғат»

Біз жыртқыш құстардың өз жемтігіне қарай тура емес,айнала ұшып жететінін білеміз.Бірақ осының байыбына барып ,сырына үңіліп көрдік пе?  Шын мәнінде олар логарифмдік спираль бойымен қозғалады екен. Бұл құпияны американдық ғалым Тукер ашқан. Ол қыран құстарға зерттеу жүргізе отырып,олар өз жемтігіне қарай 1,5 км радиуста логарифмдік спираль бойымен ұша бастайтынын айтқан. Жүргізген зерттеулер құстар басын 40°-қа бұрған кезде обьектіні өте жақсы көретіндігін көрсетті.Бірақ бұл жағдай ұшуды қиындатты ,жылдамдықтың азаюна әкелді.Сондықтанда құстар өз жемтігіне қарай қырындай,айнала логарифмдік спираль бойымен ұшады екен .Қоршаған ортаның , табиғаттың  көптеген заңдылықтары мен құпияларын ашуда математика ғылымының орны ерекше .Табиғат құбылыстарының біразын логарифмдік тәуелділік арқылы сипаттауға болады.Мысалы ,аспан әлеміндегі құс жолы логарифмдік спираль формасында болады,ұлу,арқардың мүйізі,өрмекшінің торы спираль формасында болады екен .Ал бұл спиральді олардың өмір сүру уақытының  математикалық символы деп айтуға болады.

.Логарифм және астрономия

 Физика пәнінен сендерге таныс дыбыстың қаттылығы,жұлдыздардың жарықтығы логарифм арқылы бағаланады. Астрономдар жұлдыздарды көрінерлік  жарықтығына қарай , бірінші шамадағы жұлдыз,екінші шамадағы жұлдыз, үшінші шамадағы жұлдыз деп ажыратады. Жұлдыздық шамалардың тізбегі арифметикалық прогрессия  құраса ,олардың  жарықтығы еселігі 2,5-ке тең геометриялық прогрессия құрайды. Үшінші шамадағы жұлдыз  бірінші шамадағы жұлдыздан  , яғни 6,25 есе жарық. Қысқа айтқанда астрономдар жұлдыздың көрінерлік жарықтығын  негізі 2,5-ке тең  логарифм арқылы бағалайды. Дәл осылайша  дыбыстың қаттылығы бағаланады.Дыбыс қаттылығының өлшем бірліктерінің  тізбегі 1бел,2бел,3бел арифметикалық прогрессия құраса, дыбыс қаттылығының күші  еселігі 10-ға тең геометриялық прогрессия құрайды. Яғни шудың қаттылығы оның физикалық күшінің ондық логарифміне тең. Жапырақ сыбдыры 1бел, әңгімелескен кездегі дыбыс қаттылығы 6,5 бел, ал қаттылығы 8 белден артықшу адам организміне зиян

Логарифм және психология

Логарифмдер арқылы бізді қоршаған орта табиғаттың көптеген заңдылықтарын сипаттауға болатынын көрдік. Сабақтың бастапқы кезеңінде  математиканың көмегімен адам табиғатты және  өзін-өзі басқара алады ма деген сұрақ қойған едік. Сұрақ бекер қойылған жоқ. Логарифм психология саласында да қолданылады екен. Сезіну шамасы мен оны тудыратын тітіркендіру шамасының арасында логарифмдік тәуелділік бар. Психолог дәрігер Вебер-Фехнердің психофизикалық заңы бойынша сезіну шамасы тітіркендіру шамасының ондық логарифміне  пропорционал.

.Логарифм және музыка

Математика мен музыка мектепте оқытылатын екі түрлі пән,адамзат мәдениетінің екі полюсі.

Музыка тыңдай отырып,дыбыстардың ғажайып әлеміне енеміз,ал есеп шығара отырып, сандардың қатаң кеңістігіне кіреміз.Бірақ ешуақытта сандар кеңістігі мен дыбыстар әлемі арасында байланыс бар деп ойламаймыз.Пианиноның клавиштері логарифмдер арқылы ойналады.екінші октаваның «до» нотасына дейінгі жиілік  бірінші октаваның «до» нотасына дейінгі жиіліктен 2 есе үлкен,ал үшінші октаваның  «до» нотасынан бірінші октаваның «до» нотасына дейінгі жиілік 4есе үлкен, яғни әрбір келесі нотаға негізі 2-ге тең логарифмдер деп аталатын келесі дәреже көрсеткіші сәйкес  келеді.Музыканттар математиканы ұната қоймаса да, олардың жұмысы осы пәнмен тығыз байланысты екен.

  VІІІ. Тақырыпты бекіту сұрақтары

1. Қандай түрде берілетін теңдеуді логарифмдік теңдеу деп атайды?

2. Логарифмдік теңдеуді шешудің қанша тәсілі бар?

3. Логарифмдік теңдеулерді шешуде қандай қасиеттерді ескеруіміз қажет?

IХ.Қорытынды.

Сабақтың басында күрделі есептеулерді жеңілдету мақсатында ойлап табылған логарифмдерді ғылым мен техниканың қазіргідей дамыған кезеңінде оқып- үйренудің қажеті бар ма деген сұрақ қойған едік. Логарифм тек қана математикамен айналысатын адамға ғана емес,басқа мамандық иелеріне де қажет екен.Жоғарыда қарастырылғандардан басқа

1.Жер сілкінудің Рихтер шкаласында

2.Уақыттың логарифмдік шкаласында;

3.Ортаның қышқылдығын анықтайтын pH шкаласында

4.Физиканың барлық бөлімдерінде;

5.Экономикада.

Логарифмдер біздің айналамызда , табиғатта,техникада,өнерде,халық шаруашылығында кеңінен қолданылады.

Бағалау.

_{Үйге тапсырма:} 1.Тараудың негізгі сұрақтары мен формулаларын қайталау

_{2. №235}

« Бұл қызықты»

Адамзат даму жолында есептеудің тиімді тәсілдерін іздестірген, олардың ішінде есептегіш құралдар бірінші орнында болған, егер даму кезеңдеріне назар аударсақ:

1. Есеп шоттар

2. Қытайдың есептегіш таяқшалары

3. Абак

4. Қытайдың есептегіш тақтайшасы

5. Сүйекпен санау

6. Непер таяқшалары

7. Логарифмдер

8. Логарифмдік сызғыш

9. Калькуляторлар

10. Электронды есептегіш машинкалар

Эдмонд Гунтер - Англияның Грешем коллежінің астрономия профессоры 1624 жылы логарифмдік кестелер шыққаннан соң, 10 жыл өткеннен кейін логарифмдік сызғышты ойлап тапты.Бұл құрал логарифмдік кестемен тез жұмыс істеуге мүмкіндік береді.

Вариант 1

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Вариант 2

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)