Базис и размерность линейного пространства

Базис и размерность линейного пространства

Рассмотрим линейное пространство над полем .

Определение. Векторы образуют базис в , если они

1) линейно независимы;

2) . (6)

Равенство (6)  это разложение вектора по базису , числа  координаты вектора в базисе . Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно, доказательство этого важного утверждения основано на определении линейно независимых векторов.

Главное значение базиса: линейные операции над объектами произвольной природы (которые мы лишь для удобства называем векторами) сводятся к соответствующим операциям над числами  координатами векторов в данном базисе. Действительно, из аксиом 1  8 следует

Теорема. При сложении двух векторов произвольного линейного пространства их координаты относительно данного базиса складываются; при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Например, в линейном пространстве любая тройка некомпланарных векторов образует базис; в базис образует любая пара неколлинеарных векторов.

В пространстве базис образуют векторы (2): их линейная независимость была установлена выше, а представление для очевидно.

В пространстве базис образуют линейно независимые векторы . Действительно, всякий многочлен степени не выше второй может быть записан в виде . Здесь координаты многочлена в базисе суть числа .

В пространстве цветов базисными являются три цвета  красный, синий и жёлтый (или красный, синий и зелёный), с помощью линейных комбинаций которых можно получить любой цвет спектра.

Определение.

Число называется размерностью линейного пространства , если в этом пространстве

1. существует линейно независимых векторов,

2. любые векторов линейно зависимы.

Иначе: размерность линейного пространства  это максимальное количество линейно независимых векторов в . Обозначается размерность пространства символом (от английского dimension). Например, в максимальное количество линейно независимых векторов  два (любые три вектора на плоскости линейно зависимы), значит, . Аналогично, (любые четыре вектора линейно зависимы).

Определение.

Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нём существует любое число линейно независимых векторов.

Бесконечномерным является функциональное пространство , в котором существуют линейно независимые векторы

Естественно, понятия базиса и размерности линейного пространства тесно связаны, а именно, справедлива

Теорема.

Если , то в существует базис из n векторов. И обратно: если в существует базис из n векторов, то .

Доказательство.

1. Пусть . Тогда, во-первых, существуют линейно независимых векторов , во-вторых, если к ним добавить , то система векторов линейно зависима. Это значит, что справедливо равенство

, (7)

причём число заведомо отлично от нуля (иначе бы равенство (7) означало линейную зависимость векторов ). При из равенства (7) следует

Здесь обозначено . Значит, линейно независимые векторы являются, по определению, базисом.

2. Пусть векторы образуют базис, т.е. они линейно независимы. Для доказательства утверждения остаётся показать, что любая система из векторов линейно зависима.

Разложим каждый из векторов по базису :

Составим из коэффициентов матрицу

,

размерность которой , значит, . Поэтому строки матрицы (а с ними и векторы линейно зависимы.

Например, в координатном пространстве базисом является система (2) из векторов, значит, .

В пространстве многочленов степени не старше 2 базис образуют три вектора , значит, . Аналогично .