Безу Этьен. Теорема Безу.

БЕЗУ Этьен  (31 марта 1730, Немур, близ Фонтенбло — 27 сентября 1783, Бас-Лож, близ Фонтенбло) — французский ученый-математик, член Парижской академии наук (1758).  С 1763 года преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 — также в Королевском артиллерийском корпусе. Основные труды ученого относятся к алгебре. В теории решения систем линейных уравнений наряду с Г. Крамером, Безу содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из системы уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в m-n точках.  Теорема Безу является одной из основных в алгебре. Безу развил метод неопределенных множителей: его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Э. Безу — автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося. Часть трудов Безу посвящена баллистике.

Теорема Безу:

• Остаток R от деления Р(х) на двучлен (x - а) равен Р(а ).
• Следствие : Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0 .

R(a)=R Теорема доказана. " width="640"

Доказательство теоремы Безу

Поделим многочлен  Р(х)  на двучлен  x - а , тогда

Р(х) = (x - а) Qn-1(x)+R , где  R  остаток.

Подставим в последнее равенство вместо  x  число  a ,

получим P(a) = (a-a)Qn-1(a)+R = R(a)=R

Теорема доказана.

Задание 1 .  

Найти остаток от деления многочлена  F(X) = 3x 2 -4x +6

  на двучлен  (x-1)

Решение.  Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке  a=1  . Найдем тогда  F(1) , для этого значение  a=1  подставим в выражение для многочлена  F(x)  вместо  x  . Будем иметь: F(1) = 3 * 1 2 – 4 *1 +6+ 3 – 4 +6 = 5

Ответ.  Остаток равен 5

Задание 2 .

Проверить, является ли число 5 корнем многочлена 

P ( x ) = x 3 - 4 x 2 - 4 x - 5.

Решение

По следствию из теоремы Безу, число 5 будет корнем многочлена  P ( x ) = x 3 - 4 x 2 - 4 x - 5, если этот многочлен делится без остатка на  x - 5. По теореме Безу, остаток от деления на P ( x ) = x 3 - 4 x 2 - 4 x – 5 равен  P (5). Найдем это значение: P (5) = 5 3 - 45 2 - 45 - 5 = 0.

Остаток равен нулю, следовательно,  x = 5 корень многочлена  P ( x ) = x 3 - 4 x 2 - 4 x - 5.

Ответ

Число 5 является корнем многочлена  P ( x ) = x 3 - 4 x 2 - 4 x - 5.

Заключение

• Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x - а)∙Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0 .
• Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена.