Билеты к зачету по геометрии 10 класс

Билет № 1

1. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Способы задания плоскости.

3. Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках и а дальнюю – в точках и соответственно.

Найти длину , если = 6 см, Р: = 3 : 2.

Билет № 2

1. Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную прямую и точку вне ее.

2. Перпендикуляр и наклонная.

3. Через сторону МР прямоугольника КМРТ проведена плоскость. Расстояние между прямой КТ и этой плоскостью 7 см, МР = 15 см, КМ = 8 см. Найти длину проекции диагонали КР прямоугольника на данную плоскость.

Билет № 3

1. Признак перпендикулярности плоскостей.

2. Аксиомы стереометрии.

3. Через катет МР прямоугольного треугольника КМР проведена плоскость. Расстояние от вершины К до этой плоскости равно 5 см, ∟Р = 90˚, МР = 12 см, КР = 9 см. Найти длину проекции гипотенузы треугольника КМР на данную плоскость.

Билет № 4

1. Теорема о существовании и единственности прямой, параллельной данной прямой и проходящей через точку, не лежащую на этой прямой.

2. Координаты середины отрезка.

3. Из середины М стороны АD квадрата АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр МК = a, сторона квадрата 2a. Найдите: а) площадь треугольника АВК и площадь его проекции на плоскость квадрата,

б) расстояние между прямыми АК и ВС.

Билет № 5

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Векторы.

3. Из середины Е стороны ВС прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр

ЕК = a, АС = b, BC = 4a, ∟С = 90˚ . Найдите:

а) площадь треугольника АСК и площадь его проекции на плоскость данного треугольника,

б) расстояние между прямыми КЕ и АС.

Билет № 6

1. Признак параллельности прямых.

2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

3. Угол между плоскостью равностороннего треугольника АВС и плоскостью β, содержащей его сторону АВ, равен α. Сторона треугольника равна а. Найти: а) расстояние от вершины С до плоскости β;

б) площадь проекции треугольника АВС на плоскость β.

Билет № 7

1. Теорема о площади ортогональной проекции прямоугольника.

2. Расстояние между двумя точками.

3. На оси z найти точку М, равноудаленную от точек А(0; -2; 0) и В(1; 2; -1).

Билет № 8

1. Признак параллельности двух плоскостей.

2. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

3. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены две наклонные, равные 10 дм и 18 дм. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16 дм. Найти длину проекции каждой из наклонных.

Билет № 9

1. Признак параллельности прямой и плоскости.

2. Перпендикулярные плоскости (определение).

3. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены две наклонные, сумма длин которых равна 28 см. Проекции этих наклонных на плоскость равны 6 см и 8 см. Найти длины наклонных.

Билет № 10

1. Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную прямую и точку вне ее.

2. Свойства параллельных плоскостей.

3. Найти точку С(x;y;z) такую, чтобы векторы С̅О и А̅В были равны. Известно, что А(0; -2; 0),В(1; 2; -1), О – начало координат.

Билет № 11

1. Признак перпендикулярности плоскостей.

2. Параллельные прямые (определение)

3. В плоскости ху найдите точку С (х; у; 0) такую, чтобы векторы В̅О и А̅С были коллинеарны, если А (0; 0; 2), В (1; 1; - 2), О (0; 0; 0).

Билет № 12

1. Теорема о существовании и единственности прямой, параллельной данной прямой и проходящей через точку, не лежащую на этой прямой.

2. Прямая, параллельная плоскости (определение).

3. Треугольник АВС и треугольник АМС равнобедренные с основанием АС = 36м, а углы при их основаниях равны 30˚ и 60˚ соответственно. Найти угол между плоскостями треугольников, если ВМ = 6 м.

Билет № 13

1. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Параллельные плоскости (определение).

3. Через гипотенузу МК равнобедренного прямоугольного треугольника КМР проведена плоскость α. Угол между плоскостями α и данного треугольника равен β, МР = а. Найти:

а) расстояние от вершины Р до плоскости α;

б) площадь проекции треугольника КМР на плоскость α.

Билет № 14

1. Признак параллельности прямых.

2. Прямая, перпендикулярная плоскости.

3. Расстояние между основаниями наклонных, проведенных из одной точки к плоскости β равно 12 см. Обе наклонные образуют с этой плоскостью углы в 60˚, их проекции перпендикулярны. Найти длины наклонных.

Билет № 15

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Аксиомы стереометрии.

3. Из точки, отстоящей от плоскости на 9 дм, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 30˚ и 60˚. Угол между проекциями наклонных равен 120˚. Чему равно расстояние между основаниями наклонных?

Билет № 16

1. Признак параллельности прямой и плоскости.

2. Способы задания плоскости.

3. Два равнобедренных треугольника АВС и ВСD имеют общее основание ВС. Найти угол между плоскостями этих треугольников, если ВС = 48 дм, АВ = 30 дм, ВD = 26 дм, а расстояние между вершинами А и D равно 2 дм.

Билет № 17

1. Признак параллельности двух плоскостей.

2. Расстояние между двумя точками.

3. Из точки, отстоящей от плоскости на 3 м, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 30˚ и 45˚. Угол между проекциями наклонных равен 150˚. Чему равно расстояние между основаниями наклонных?

Билет № 18

1. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

3. Докажите, что четырехугольник КМРТ является прямоугольником, если К(0; - 6; 0), М(1; 0; 1), Р(0; 0; 2),

Т(-1; -6; 1).

Билет № 19

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Координаты середины отрезка.

3. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку К и перпендикулярна прямой КМ, если К(2; -1;3), М(- 1; 4; 2).

Билет № 20

1. Признак параллельности прямых.

2. Векторы.

3. Докажите, что четырехугольник АВСD является ромбом, если А(2; 1; 2), В(0; 1; 6), С(-2; 5; 6), D(0; 5; 2).