Биссектриса. Свойства биссектрисы.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Лицей Инновационных Технологий

Биссектриса

Свойства биссектрисы

Выполнили: ученики 9в класса Несина Света, Головина Аня

Проверила:

Дубинская И.А.

г.Хабаровск 2017

Ц ель работы

• Узнать что такое биссектриса и какими свойствами она обладает.

З адачи:

1. Дать определение биссектрисы.

2. Рассказать о ее свойствах.

3. Отработать на практике полученные знания.

Определение биссектрисы

• Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

• Биссектриса угла – это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.

C

A

B

D

H

Свойство биссектрисы

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство:

(треугольники имеют общую высоту)

(треугольники имеют по равному углу)

Свойство биссектрисы

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Доказать: ρ(M,AC)=ρ(M,AB)

Дано: AM-биссектриса

Доказательство:

B

K

M

A

(по общей гипотенузе AM и острому углу )

L

C

ML=MK

Свойство биссектрисc

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Дано: CE, CD биссектрисы

4

1

Доказательство:

1) 1= 2,

3= 4

2+ 3= 1+ 4

2) Т. к. 2+ 3+ 1+ 4=180 º

2+ 3=90º

3

2

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется  центром вписанной окружности .

Дано: АВС;

О — центр вписанной окружности;

C

E

Доказательство:

1) AOD= AOE (OA- общая гипотенуза; OD=OE= r )

O

A

2) OAD= OAE

D

O- лежит на биссектрисе треугольника

B

Аналогично доказывается, что точка О лежит на двух биссектрисах треугольника.

Формула длины биссектрисы

A

b

c

Где:   — биссектриса, проведенная к стороне  a , a , b , c  — стороны треугольника против вершин  A , B , C  соответственно

C

a

B

Вывод

В ходе проделанной работы мы рассмотрели основные свойства биссектрисы, узнали формулу для нахождения биссектрисы и закрепили полученные знания решение задачи.