Блок №3. Признаки равенства треугольников

Теорема (II признак равенства треугольников)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

С С₁ Дано: АВС,

А₁В₁С₁,АВ=А₁В₁

А= А₁, В= В₁

Док-ть:

А В А₁ В₁ ∆АВС=∆А₁В₁С₁

Доказательство:

Наложим А₁В₁С₁ на АВС так, чтобы: вершина А₁ совместилась с А, сторона А₁В₁ совместилась с АВ, точки С и С₁ были по одну сторону от прямой АВ.

Т.к. А= А₁, В= В₁, то сторона А₁С₁ наложится на луч АС и сторона В₁С₁ наложится на луч ВС. Тогда (•)С₁ АС и (•)С₁ ВС. А общая точка сторон АС и ВС – это (•)С. Сл-но, вершина С₁ совместится с вершиной С. Сл-но, совместятся стороны А₁С₁ и АС, В₁С₁ и ВС. Итак, А₁В₁С₁ и АВС совместятся. Значит, АВС=А₁В₁С₁ 

Теорема (III признак равенства треугольников)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

С С₁ Дано: АВС,

А₁В₁С₁,

АВ=А₁В₁,

А(А₁) В(В₁) АС=А₁С₁,

А₁ В₁ ВС=В₁С₁

Док-ть: АВС=А₁В₁С₁

Доказательство:

С₁ Приложим А₁В₁С₁ к АВС так, чтобы вершина А₁ совместилась с А, В₁ совместилась с В, С и С₁ были по разные стороны от прямой АВ.

Т.к. ВС=В₁С₁, АС=А₁С₁, то АСС₁ и ВСС₁ равнобедренные. По 1⁰ р/б тр-ка 1= 2, 3= 4. С₁= 1+ 3= 2+ 4= С.

Рассмотрим АВС и А₁В₁С_1:

ВС=В₁С₁ по условию АВС=А₁В₁С₁

АС=А₁С₁ по условию (по I признаку равенства

С= С1 по доказанному треугольников)



Опр. Окружностью наз-ся геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Задача 1. Отложить от данного луча угол, равный данному.

В Е

А С О D М

Дано: А, луч ОМ.

Отложить от луча ОМ МОЕ= А.

Построение:

1. Построим окр. А(r), получим точки В и С.

2. Построим окр. О(r), получим точку D.

3. Построим окр. D(ВС), получим точку Е.

4. Проведем луч ОЕ.

5. ЕОМ – искомый.

Док-ть: ВАС= ЕОМ.

Док-во:

Рассмотрим rАВС и rDОЕ:

АВ=ОЕ= r по построению rАВС и rDОЕ

АС=ОD = r по построению (поI признаку =r-в).

ВС= DЕ по построению

Т.к. rАВС и rDОЕ, то ВАС= ЕОМ. g

Задача 2. Построить биссектрису данного угла.

В E Дано: А.

Построить биссектрису АЕ.

Построение:

1 1. Построим окр. А(r), получим

2 получим точки В и С.

А С 2. Построим окр.В(r) и окр. С(r),

получим точку Е.

3. Проведем луч АЕ.

4. Луч АЕ- искомая биссектриса.

Док-ть: АЕ- биссектриса.

Докво:

Рассмотрим rАВЕ и rАСЕ:

АВ=АС= r по построению rАВЕ и rАСЕ

ВЕ= СЕ= r по построению (по III признаку

АЕ общая сторона равенства треугольников)

Т.к. rАВЕ и rАСЕ, то 1= 2. Значит АЕ - биссектриса А. g

Блок №3 п.п. 19-23

Т

Если АВ=А₁В₁

А= А₁, В= В₁, то ∆АВС=∆А₁В₁С₁

Док-во:

.

С С₁

А В А₁ В₁

Наложим А₁В₁С₁ на АВС …

Т. (III признак равенства треугольников)

Е сли АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁, то АВС=А₁В₁С₁.

С С₁ Док-во:

Приложим

А₁В₁С₁ к

А(А₁) В(В₁) АВС так,

А₁ В₁ чтобы…

F

Д

С₁ Окружность

О центр

ОМ= r радиус r О

С

ДС диаметр; АВ дуга А В

Задача 1. Отложить от данного луча (ОМ)

угол, равный данному ( А)

Е ЕОМ -

искомый

А О М

З адача 2. Построить биссектрису (АЕ)

данного угла ( А)

Е

А

Р Задача 3. Построить прямую

М а

через данную точку

(а)

ную к данной прямой

Q

З

•

середину (О) данного

о трезка (АВ).