Блок квадратные уравнения

Биквадратные уравнения

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЗУН:

• понимание термина биквадратное уравнение, корни биквадратного уравнения;

• умение применять на практике метод замены переменной при решении биквадратных уравнений;

• умение решать квадратные уравнения по формуле;

• умение решать простейшие квадратные уравнения вида х² = а.

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ

«РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Проверяемые ЗУН:

• умение находить корни квадратного уравнения по формуле

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО ТЕМЕ

«РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ»

Проверяемые ЗУН:

• понимание терминов квадратный трехчлен, корни квадратного трехчлена;

• умение находить корни квадратного трехчлена;

• знание формулы разложения квадратного трехчлена на множители;

• умение раскладывать квадратный трехчлен на множители.

Диагностическая работа по теме

«Числовые коэффициенты и дискриминант квадратного уравнения»

Проверяемые ЗУН:

• понимание терминов старший коэффициент, второй коэффициент, свободный член, дискриминант квадратного уравнения;

• умение находить дискриминант квадратного уравнения;

• умение определять количество корней квадратного уравнения по дискриминанту.

Диагностическая работа по теме

«Квадратные уравнения: основные понятия. Неполные квадратные уравнения»

Проверяемые ЗУН:

• понимание терминов квадратное уравнение; полное, неполное и приведенное квадратное уравнение; корень уравнения;

• умение выполнять проверку корней квадратного уравнения;

• умение решать неполные квадратные уравнения.

Квадратные уравнения

(справочник)

Определение: квадратным уравнением называют уравнение вида ax² + bx + c = 0,

где a, b, c – любые действительные числа, причем a  0.

a – старший коэффициент;

b – второй коэффициент;

с – свободный член.

Правило решения квадратного уравнения.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b² – 4ac

1. Если D  0, то уравнение не имеет корней.

1. Если D  0, то уравнение имеет один корень х = -

1. Если D  0, то уравнение имеет два корня

х₁ = и х₂ =

О квадратных уравнениях

Потребности жизни, главным образом земледелия и астрономии, ставили ученых древности перед необходимостью уметь решать уравнения как квадратные, так и более высоких степеней.

Однако общих методов для всех видов квадратных уравнений у них не было.

Правило для нахождения корней квадратного уравнения приведенного вида встречается в труде багдадского ученого ал – Хорезми «Хисаб – алджебр – вал – Мукабала». Это правило имело вид:

х =

Кто открыл это правило, нельзя сказать. Есть сведения, что оно было известно индийцам. Может быть, ал – Хорезми заимствовал его у них. Это правило знали и вавилоняне.

©МОУ СОШ № 23 г. Рыбинска, Зубкова Л. А., Нечаева Л. В. , Цедилина Е. К.

Комментарии

• Для проведения игры «Биологический бой» учащиеся делятся на две команды. Каждой команде выдается заготовка игрового поля, на котором учащиеся будут отмечать сделанные ими в ходе игры ходы и результат своих действий.
• Перед началом игры разыгрывается право первого выстрела.
• В процессе игры командам необходимо «ликвидировать» как можно больше кораблей противника. За каждый «потопленный» корабль команды получают жетон-корабль, заготовленные предварительно.
• Победителем считается команда, «потопившая» большее количество кораблей противника.
• В течение игры трижды проводится игра со зрителями. Проверка ответа зрителей осуществляется нажатием кнопки ОТВЕТ. Наиболее активный участник получает приз.

Управление показом

• Для появления вопроса необходимо нажать на кнопку ВОПРОС
• Команда отвечают в течение времени, ограниченного движением штурвала. Для этого необходимо нажать на кнопку ОТВЕТ
• По окончании отведенного для ответа времени появятся песочные часы, нажатием на которые команде дают сигнал к ответу
• Для перехода к следующему вопросу необходимо нажать на кнопку ВПЕРЕД
• Слайды презентации, не содержащие вопросов, управляются по щелчку

Правила игры

• На игровом поле, имеющем форму квадрата 6х6, расположить 7 кораблей так, чтобы ни один из них не соприкасался с соседними кораблями.

3 корабля -

2 корабля -

1 корабль -

1 корабль -

• За каждое попадание команда получает 1 очко при условии правильного ответа на предложенный вопрос.

• Однопалубный корабль – 1 очко;
• Двухпалубный корабль – 2 очка;
• Трехпалубный корабль – 3 очка;
• Четырехпалубный корабль – 4 очка.

• Команда может взять помощь болельщиков, но при этом получает 1 штрафное очко за подсказку.

• Если команда не знает ответа, то соперники имеют возможность получить дополнительное очко за правильный ответ на вопрос.

• Победителем считается та команда, которая уничтожила большее количество кораблей соперника и при этом получила меньше штрафных очков.

МОУ СОШ № 23 г. Рыбинска, Зубкова Л. А., Нечаева Л. В. , Цедилина Е. К.

ВОПРОС

Что называется квадратным уравнением ?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Что называют корнем квадратного уравнения?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Сколько корней может иметь биквадратное квадратное уравнение?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Что значит решить квадратное уравнение?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Что называется дискриминантом?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

В трудах какого ученого встречается правило для нахождения корней квадратного уравнения приведенного вида?

ОТВЕТ

Багдадский ученый ал – Хорезми,

в труде «Хисаб – алджебр – вал – Мукабала»

ВОПРОС

Когда квадратное уравнение не имеет корней ?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Когда квадратное уравнение имеет один корень ?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Когда квадратное уравнение имеет два корня ?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

С именем какого математика связаны теоремы о корнях приведенного квадратного уравнения?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

В чем заключается смысл теоремы Виета?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Назовите чему равна сумма корней уравнения х 2 – 14х + 9 = 0 ?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Назовите чему равно произведение корней уравнения х 2 + 16х - 39 = 0 ?

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Является ли число 4 корнем уравнения: х 2 – 3х + 11= 0. Ответ поясните.

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком. Назовите имя этого математика.

ОТВЕТ

Леонард Фибоначчи

Сколько корней имеет уравнение

3х 2 – 2х + 7 = 0. Ответ поясните.

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Сколько корней имеет уравнение

2х 2 + 3х - 7 = 0. Ответ поясните.

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Найдите подбором корни уравнения:

х 2 – 12х – 45 = 0

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Найдите подбором корни уравнения: х 2 – 16х + 28 = 0.

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Разложите на множители трехчлен: х 2 + 8х + 15 ?

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Определите знаки корней уравнения, не решая его: х 2 + 10 + 17 = 0 ?

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Найдите корни уравнения: 2х 2 – 3х + 2 = 0 ?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Найдите корни уравнения: 7х 2 + 8х + 1 = 0?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

“ Обезьянок резвых стая Вcласть поевши развлекалась, Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась, А 12 по лианам … Стали прыгать, повисая, Сколько было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?

ОТВЕТ

x 1 = 16, x 2 = 48.

Один из коэффициентов квадратного уравнения равен – 3. Найдите коэффициент р и второй корень уравнения: х 2 – 5х + р = 0?

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

При каком значении m уравнение имеет один корень: х 2 – m х + 9 = 0 ?

ВОПРОС

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Произведение двух натуральных чисел равно 273. найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

ВОПРОС

Площадь прямоугольника 480 см 2 . Найдите его стороны, если периметр прямоугольника равен 94 см?

ВПЕРЕД

ОТВЕТ

Ресурсы

Для художественного оформления презентации использованы

• авторские рисунки Мартыненко Александра, учащегося МОУ СОШ №23 г. Рыбинска,
• клипы коллекции веб-узла Microsoft Office

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 23

Зубкова Лариса Анатольевна, учитель математики МОУ СОШ №23

Рыбинск, 2007

• Определение квадратного уравнения
• Решение квадратного уравнения
• Виды квадратных уравнений
• Примеры решения неполных квадратных уравнений
• Дискриминант
• Формулы корней квадратного уравнения
• Пример решения квадратного уравнения по формулам
• Ресурсы

Квадратным уравнением называют уравнение вида

ax 2 + bx + c = 0,

где a , b , c – любые действительные числа, причем a  0.

а

b

с

а – старший коэффициент;

b – второй коэффициент;

с – свободный член.

Корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c обращается в нуль.

Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Полным квадратным уравнением называют уравнение вида а x 2 + bx + c = 0 , у которого коэффициенты b и с отличны от 0.

3х 2 + 5х – 7 = 0

-6х 2 + 5х – 7 = 0

7 + 4х 2 - 3х = 0

-16х - 3х 2 – 8 = 0

Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида x 2 + bx + c = 0 , у которого старший коэффициент равен 1 (а = 1).

х 2 + 5х – 7 = 0

7х + х 2 – 3 = 0

5 + х 2 – 2х= 0

Неполным квадратным уравнением называют уравнение вида а x 2 + bx = 0 или а x 2 + c = 0 , в котором присутствуют не все слагаемые.

7х 2 – 14 = 0

4х 2 – 12х = 0

27 + 3х 2 = 0

9х + 2х 2 = 0

7х 2 – 14 = 0

7х 2 – 14х = 0

7х 2 = 14

7х(х – 2) = 0

х 2 = 14 : 7

7х = 0 или х – 2 = 0

х 2 = 2

х = 0 : 7

х = 2

х = 0

х = ±

Ответ: 0; 2

Ответ:

Дискриминантом квадратного уравнения а x 2 + bx + c = 0 называют величину, которая обозначается буквой D и находится по формуле b 2 – 4ac .

Дискриминант служит для определения количества корней квадратного уравнения.

0, то квадратное уравнение имеет два корня" width="640"

• Если D

• Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень

• Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня

0, значит уравнение имеет 2 корня 3 . Найдем корни уравнения, используя формулу х = х 2 = = 1 х 1 = = - 2,5 - 2,5 и 1 – корни уравнения 4. Ответ: - 2,5; 1 ." width="640"

2х 2 + 3х – 5 = 0

• Найдем дискриминант D :

D = b 2 – 4*a*c , где a = 2, b = 3, c = - 5

Подставив значения a, b, c в формулу , получим

D = 3 2 – 4*2*(- 5) = 49

2. Определим число корней уравнения:

D 0, значит уравнение имеет 2 корня

3 . Найдем корни уравнения, используя формулу

х =

х 2 =

= 1

х 1 =

= - 2,5

- 2,5 и 1 – корни уравнения

4. Ответ: - 2,5; 1 .

0, 2 корня   3.   х =   х 1 = = 1   х 2 = = - 2,5 - 2,5 и 1 – корни уравнения   Ответ: - 2,5; 1." width="640"

2х 2 + 3х – 5 = 0

  1.   D = b 2 – 4*a*c ,

D = 3 2 – 4*2*(- 5) = 49

  2.   D 0, 2 корня

  3.   х =

  х 1 = = 1

  х 2 = = - 2,5

- 2,5 и 1 – корни уравнения

  Ответ: - 2,5; 1.

• Найти дискриминант
• Определить число корней уравнения
• Найти корни уравнения по формулам
• Записать ответ

Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 3 изд., доработ. – М.: Мнемозина, 2001

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

• Определение квадратного уравнения
• Решение квадратного уравнения
• Виды квадратных уравнений
• Примеры решения неполных квадратных уравнений
• Дискриминант
• Формулы корней квадратного уравнения
• Пример решения квадратного уравнения по формулам
• Ресурсы

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадратным уравнением называют уравнение вида

ax 2 + bx + c = 0,

где a, b, c – любые действительные числа, причем a  0.

а

b

с

а – старший коэффициент;

b – второй коэффициент;

с – свободный член.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Решение квадратного уравнения

Корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c обращается в нуль.

Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Виды квадратных уравнений

Полным квадратным уравнением называют уравнение вида аx 2 + bx + c = 0 , у которого коэффициенты b и с отличны от 0.

Примеры

3х 2 + 5х – 7 = 0

-6х 2 + 5х – 7 = 0

7 + 4х 2 - 3х = 0

-16х - 3х 2 – 8 = 0

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Виды квадратных уравнений

Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида x 2 + bx + c = 0 , у которого старший коэффициент равен 1 (а = 1).

Примеры

х 2 + 5х – 7 = 0

7х + х 2 – 3 = 0

5 + х 2 – 2х= 0

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Виды квадратных уравнений

Неполным квадратным уравнением называют уравнение вида аx 2 + bx = 0 или аx 2 + c = 0 , в котором присутствуют не все слагаемые.

Примеры

7х 2 – 14 = 0

4х 2 – 12х = 0

27 + 3х 2 = 0

9х + 2х 2 = 0

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Примеры решения неполных квадратных уравнений

7х 2 – 14 = 0

7х 2 – 14х = 0

7х 2 = 14

7х(х – 2) = 0

х 2 = 14 : 7

7х = 0 или х – 2 = 0

х 2 = 2

х = 0 : 7

х = 2

х = 0

х = ±

Ответ: 0; 2

Ответ:

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дискриминант

Дискриминантом квадратного уравнения аx 2 + bx + c = 0 называют величину, которая обозначается буквой D и находится по формуле b 2 – 4ac .

Дискриминант служит для определения количества корней квадратного уравнения.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Формулы корней квадратного уравнения

• Если D

• Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень

• Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня

0, значит уравнение имеет 2 корня 3 . Найдем корни уравнения, используя формулу х = х 2 = = - 2,5 х 1 = = 1 - 2,5 и 1 – корни уравнения 4. Ответ: - 2,5; 1 ." width="640"

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пример решения квадратного уравнения по формулам

2х 2 + 3х – 5 = 0

• Найдем дискриминант D:

D = b 2 – 4*a*c, где a = 2, b = 3, c = - 5

Подставив значения a, b, c в формулу , получим

D = 3 2 – 4*2*(- 5) = 49

2. Определим число корней уравнения:

D 0, значит уравнение имеет 2 корня

3 . Найдем корни уравнения, используя формулу

х =

х 2 =

= - 2,5

х 1 =

= 1

- 2,5 и 1 – корни уравнения

4. Ответ: - 2,5; 1 .

0, 2 корня   3.   х =   х 1 = = 1   х 2 = = - 2,5 - 2,5 и 1 – корни уравнения   Ответ:- 2,5; 1." width="640"

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Решение квадратных уравнений по формулам

Алгоритм решения

Образец записи решения

2х 2 + 3х – 5 = 0

  1.   D = b 2 – 4*a*c,

D = 3 2 – 4*2*(- 5) = 49

  2.   D 0, 2 корня

  3.   х =

  х 1 = = 1

  х 2 = = - 2,5

- 2,5 и 1 – корни уравнения

  Ответ:- 2,5; 1.

• Найти дискриминант
• Определить число корней уравнения
• Найти корни уравнения по формулам
• Записать ответ

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

РЕСУРСЫ

Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 3 изд., доработ. – М.: Мнемозина, 2001