Брошюра "Софизмы и их разоблачение"

Сборник

«Софизмы и их разоблачение»

Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным. Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

1. « Дважды два - пять!».

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или (2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1) устанавливаем: 4=5, 2∙2=5.

Ошибка.

Распределительный закон умножения применяется только для сложения и вычитания: ав + ас = а(в + с).

2. Верно ли равенство 7=8?

35+14-49=40+16-56

7(5+2-7)=8(5+2-7)

Следовательно, 7=8

Ошибка.

Обе части равенства разделили на (5+2-7), но нарушено правило, что на "0" делить нельзя (5+2-7=0)

3. Некто утверждал, что 45-45=45.

Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же чисел, но взятых в обратном порядке (от 1 до 9):

9+8+7+6+5+4+3+2+1

1+2+3+4+5+6+7+8+9

8+6+4+1+9+7+5+3+2

Будем последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как 9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из двух, имеем 11-9=2 и т. д. Теперь нетрудно установить,

8+6+4+1+9+7+5+3+2=45.

Итак, 45-45=45».

Ошибка состоит в том, что занимаемую единицу возводили в ранг десятка.

4. «Меньшее число больше, чем большее».

Очевидно, что75 и что -8=-8

Тогда:7-85-8 или -1-3

Это не противоречит основному понятию об отрицательных величинах, на основании которого мы считаем меньшей ту отрицательную величину, численное значение которой больше, и наоборот.

Умножим обе части последнего неравенства на (-4).

Получим

(-1)* (-4)(-3)*(-4)

или 412

Разбор софизма:

При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный.

1. Выполнить действия:

- 10  = =11 – 10  =

= = 0,8

Неправильный порядок действий:

- 10  = =11 – 10  =

=11 - 10 = =11 - 10 = 11 – 10 0,8 = = 11 – 8 = 3

6.Сократить дробь:

Нарушение правил сокращения дробей:

7.Решить уравнение:

+ = x²

ОДЗ: все числа, кроме 2.

- = x²

Умножим обе части уравнение на x-2

2-3x-2=x²(x-2)

Разложили на множители квадратный трёхчлен

2-3x-2=2(x-2) (x+ )=

= (x-2) (2x+1)

(x-2) (2x+1)=x² (x-2)

Разделим обе части уравнения на x-2,получим

2x+1=x²

х² -2x -1 =0

Д=4+4=8

х₁= ==

= 1+

х₂=1-

Корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1-; 1+.

При делении уравнения

(x-2)(2x+1)=x² (x-2) , на x-2 произошла потеря корня

Верное решение:

x² (x-2) – (x-2) (2x+1)=0

(x-2) (x²-2x-1)=0

x-2=0 или x² -2x -1=0

x=2 или x₁=1+ и x₂ = 1-

Уравнение имеет три корня: 2;

1+; 1-.

Но 2 - не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1+; 1- .

8.  «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

  Возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки  Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ  перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка???

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

9. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

 Пусть  а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и  a  обозначим через c .

Имеем  b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b² - ab = ca + c². Вычтем из обеих частей bc. Получим: b²- ab - bc = ca + c² - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда

b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.    

Где ошибка???

В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

10.  «Катет равен гипотенузе»

Угол С равен 90^о, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.

Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

Где ошибка???

Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

12.«Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

        Если a=b, c=d, то ac=bd.

 Применим это положение к двум очевидным равенствам                     

                1 р.=100 коп,  (1)

                10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

                10 р.=100000 коп.     (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

                 1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство                            

                       10 р.  =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает                    

                        1 р.  = 10 000 коп.,         (*)

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство     1р.=100 коп.

1. «Полупустое или полуполное»

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное

Ошибка:

Полупустое не является половиной чего- либо пустого, а является чем- либо наполовину наполненным.