Числовые последовательности (Подготовка к ОГЭ по математике)

Последовательности

Геометрическая прогрессия

• последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

• q-Знаменатель прогрессии

0, q 1,   Например, 1, 3, 9, 27, 81,.... Геометрическая последовательность является  убывающей , если b 1  0, 0 Например,… " width="640"

Геометрическая прогрессия

• Геометрическая последовательность является  возрастающей , если b 1  0, q 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81,....

• Геометрическая последовательность является  убывающей , если b 1  0, 0

Например,…

Геометрическая прогрессия

• Формула n-го члена геометрической прогрессии

• Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
• Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого  (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Геометрическая прогрессия

• Сумма n первых членов  геометрической прогрессии равна

• Сумма n первых членов , бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Геометрическая прогрессия

• Дана геометрическая прогрессия: Известно, что .
• Дана геометрическая прогрессия: Известно, что .
• Дана геометрическая прогрессия: Известно, что .

Геометрическая прогрессия

• Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена Укажите четвертый член этой прогрессии.
• Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена Укажите шестой член этой прогрессии.

Геометрическая прогрессия

• Найти сумму бесконечно убывающей прогрессии
• Найти сумму бесконечно убывающей прогрессии
• Сумма бесконечно убывающей прогрессии равна 150. Найти если
• Сумма бесконечно убывающей прогрессии равна 45. Найти если

Геометрическая прогрессия

• Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен 2, Найти сумму первых шести ее членов.
• Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен 3, Найти сумму первых четырех ее членов.

Геометрическая прогрессия

• Найти сумму первых четырех членов прогрессии.
• Найти сумму первых трёх членов прогрессии.
• Дана геометрическая прогрессия, для которой . Найдите q.
• Дана геометрическая прогрессия, для которой . Найдите q.
• Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: Найдите х.

Арифметическая прогрессия

• Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией.

• Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется  разностью арифметической прогрессии  и обозначается буквой  d .

Арифметическая прогрессия

• числовая последовательность а 1 ;  а 2 ;    а 3 ;  а 4 ;  а 5 ; … а n  будет являться арифметической  прогрессией, если
• а 2  = а 1  + d;
• а 3  = а 2  + d;
• a 4  = a 3  + d;
• a 5  = a 4  + d;
• ………… .
• a n  = a n-1  + d

Арифметическая прогрессия

• Пример 1.     1; 3; 5; 7; 9;…    

  Здесь  а 1  = 1;  d  = 2.

• Пример 2.    8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…  

Здесь  а 1  = 8;  d  =-3.

• Пример 3.    -16; -12; -8; -4;…    

Здесь  а 1  = -16;  d  = 4.

Арифметическая прогрессия

• каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

• каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и  равноотстоящих  от него членов

Арифметическая прогрессия

• Пример 1.     1; 3; 5; 7; 9;…    

  Здесь  а 1  = 1;  d  = 2.

• Пример 2.    8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь  а 1  = 8;  d  =-3.

Арифметическая прогрессия

• формулой n-го члена арифметической прогрессии

• формулa  суммы первых n членов арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия

• Дана арифметическая прогрессия -7;-5;-3;… Найти
• Дана арифметическая прогрессия 1;4;7;… Найти
• Дана арифметическая прогрессия 33;25;17;… Найти первый отрицательный член
• Дана арифметическая прогрессия -20;-16;-12;… Найти первый положительный член

Арифметическая прогрессия

• . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

• 80
• 56
• 48
• 32

Арифметическая прогрессия

• Дана арифметическая прогрессия: -4;-2;0;…Найти сумму первых десяти ее членов
• Дана арифметическая прогрессия: 3;0;-3;-6;…Найти сумму первых шести ее членов
• Найти сумму всех отрицательных членов прогрессии: -8,6;-8,4;…
• Найти сумму всех положительных членов прогрессии: 9;7;5;…

Арифметическая прогрессия

• . Найти сумму 19 членов.
• . Найти сумму 8 членов.
• Выписано: -87;-76;-65;…Найдите первый положительный член прогрессии
• Выписано: 43;41;39;…Найдите первый отрицательный член прогрессии

Арифметическая прогрессия

• Выписано: -9;x;-13;-15;…Найдите х.
• Выписано: 12;x;6;3;…Найдите х.
• . Найдите d.

Арифметическая прогрессия

• Даны 15 чисел, первое из которых равно 6, а каждое последующее больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел.
• Фигура составлена из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в шестнадцатой строке?

Числовые последовательности

• Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.
• Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Числовые последовательности

• способы задания числовой последовательности:
• 1)   Словесный способ .  Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.
• Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.
• Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:
• 0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Числовые последовательности

• способы задания числовой последовательности:
• 2)   Аналитический способ.  Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.
• Пример 3.  Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k  = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.
• Решение.
• a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;
• a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;
• a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;
• a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Числовые последовательности

• способы задания числовой последовательности:
• 3)   Рекуррентный способ.    Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
• Пример 5.  Выписать первые четыре члена последовательности {a n },
• если a 1 =7; a n+1  = 5+a n .
• Решение.
• a 2  =5+a 1 =5+7=12;
• a 3  =5+a 2 =5+12=17;
• a 4  =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .

Числовые последовательности

• способы задания числовой последовательности:
• 4)   Графический способ.  Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .
• Пример 7.  Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Числовые последовательности

• способы задания числовой последовательности:
• 4)   Графический способ.  
• Решение.
• Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n ). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n.
• Получаем: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
• Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5  =7.
• Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Числовые последовательности

• Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является числом этой последовательности?

• 1 2 3 4
• 1
• 2
• 3
• 4

Числовые последовательности

• Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является числом этой последовательности?

• 18 17 20 19
• 18
• 17
• 20
• 19

Числовые последовательности

• Какое из указанных чисел не является членом последовательности

Числовые последовательности

• Какое из указанных чисел не является членом последовательности

• -
• -

Числовые последовательности

• Последовательность задана формулой Сколько членов этой последовательности больше 1.

• 8 9 10 11
• 8
• 9
• 10
• 11

Числовые последовательности

• Последовательность задана формулой Сколько членов этой последовательности больше 1.

• 6 5 8 7
• 6
• 5
• 8
• 7

Числовые последовательности

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них арифметическая прогрессия. Укажите ее:

1;2;3;5…

1;2;4;8…

1;3;5;7…

1;

Числовые последовательности

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них геометрическая прогрессия. Укажите ее:

1;3;4;5…

1;

9;3;1; …

1

Числовые последовательности

• Последовательность задана условиями:
• Последовательность задана условиями:

. Найти

• Последовательность задана условиями:
• Последовательность задана условиями:

. Найти

• Последовательность задана условиями:
• Последовательность задана условиями:

Сколько членов больше 6?

• Сколько натуральных чисел?
• Сколько натуральных чисел?