Числовые последовательности:прогрессии

Прогрессии

Записать рекуррентные

формулы прогрессий

Арифметическая:

a n+1 =a n +d

Геометрическая:

b n+1 =b n . q

Записать формулы

n-го члена

прогрессий

Арифметическая:

a n =a 1 +(n-1)d

Геометрическая:

b n =b 1 . q n-1

Записать свойства

арифметической

прогрессии

a n =(a n-1 +a n+1 ):2

a 1 +a n =a k +a n-k+1

d= a n+1 - a n

d=(a n -a k ):(n-k)

Записать свойства

геометрической

прогрессии

(b n ) 2 =b n-1 . b n+1

q=b n+1 :b n

q n-k =b n :b k

Записать формулы

суммы первых членов

прогрессий

Арифметическая

прогрессия

S n =((a 1 +a n ):2) . n

S n =((2a 1 +(n-1)d):2) . n

Геометрическая

прогрессия

S n =(b 1 (q n -1)/(q-1)

S n =(b 1 (1-q n )/(1-q)

S n =(b n q-b 1 )/(q-1)

Более сложные

упражнения

1)В арифметической

прогрессии а 2 +а 4 =6,

а 6 . а 7 =99. Найти а 1.

Решение:

а 3 =3, a 6 =a 3 +3d, a 7 =a 3 +4d,

(3+3d) (3+4d)=99

4d 2 +7d-90=0, d=2,

a 1 =a 3 -2d, a 1 =-1

Ответ: а 1 =-1

2) При каком значении х

числа х , 3 √ х , 5 являются

последовательными

членами арифметической

прогрессии.

Решение:

3 √ x-x=5-3 √ x, x-6 √ x+5=0

Введем новую

переменную. Пусть √ x=y,

y 2 -6 y+5=0, y 1 =1, y 2 =5

√ x 1 =1, x 1 =1, √ x 2 =5, x 2 =25

Ответ: x 1 =1, x 2 =25

Сумма шести первых

членов геометрической прогрессии равна 10,5,

знаменатель прогрессии

равен 2.

Найти сумму первых трех членов этой прогрессии.

Решение:

b 1 (2 6 -1)=10,5, b 1 . 63=10,5

b 1 =1/6

S 3 =1/6+2/6+4/6=7/6

Ответ: S 3 =7/6

Найти b 1 и q геометрической

прогрессии, если сумма

трех её равна 10,5

и b 1 -b 4 =31,5

Решение:

b 1 -b 4 =b 1 (1-q 3 ),

b 1 +b 2 +b 3 =b 1 (1+q+q 2 )

b 1 (1-q 3 ):(b 1 (1+q+q 2 ))=31,5:10,5

1-q=3, q=-2, b 1 =10,5:(1-2+4),

b 1 =3,5

Ответ: b 1 =3,5, q=-2

1

Бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия (|q|

Суммa членов бесконечной

убывающей

прогрессии:

S=b 1 /(1-q)

Записать в виде

Обыкновенной дроби

число 4,(18)