Инструкционная карта № 22
Тақырыбы/ Тема: «Аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них».
Мақсаты/ Цель:
о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
Познакомить учащихся с содержанием курса стереометрии, изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Уметь переносить теоретический материал на решение практических и бытовых задач, используя аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них.
Создать условия для развития коммуникативно-творческих умений: не шаблонно подходить к решению различных задач.
Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно классифицировать, выполнять анализ, оценивать результаты.
Теоретический материал:
Геометрия – часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел, а также о других отношениях и формах действительности, сходных с пространственными по своей структуре.
Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.
Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве и свойства этих фигур.
Аксиома – положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории.
Теорема в математике – утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства.
Плоскость – это модель идеально ровной и гладкой поверхности, бесконечно продолженной во все стороны.
Ответ: свойства геометрических фигур на плоскости.
Какие основные элементы планиметрии вы знаете?
Ответ: точка, прямая.
Геометрия
(точка, прямая)
Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ и т. д.
С1: Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Например, на данном рисунке точки А и С принадлежат плоскости α, а точки D, B и K ей не принадлежат.
С2: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости и имеют общую точку С, то существует прямая c, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой c.
То есть совокупность всех общих точек плоскостей и есть прямая, которая, конечно, проходит через указанную в аксиоме общую точку. Можно сказать иначе: общие точки плоскостей и составляют прямую (но не просто лежат на одной прямой).
Независимо от способа выражения смысл аксиомы С2 в том, что если плоскости и различны и пересекаются (имеют хотя бы одну общую точку), то их пересечением является прямая (а не какая-нибудь другая линия, фигура).
С3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Это значит, что если две различные прямые имеют общую точку С, то существует плоскость , содержащая прямые а и b. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.
Существует всего 4 способа задания плоскости в чертеже.
Положение плоскости в пространстве определяется:
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий,
б) прямой и точкой, взятой вне прямой,
в) двумя пересекающимися прямыми,
г) двумя параллельными прямыми.
Практическая часть:
Задание 1
Определите по рисунку:
а) Какие две прямые не лежат на одной плоскости?
AB и BC
б) Какие три прямые вместе с прямой лежат на одной плоскости?
АА1, DC и АD1
Задание 2
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант | 4 вариант |
1.Столяр хочет проверить при помощи двух нитей, лежат ли концы четырех ножек стула в одной плоскости. Как он это может сделать? | 1.Сформулировать аксиому, на основе которой можно объяснить существование пространственных фигур (например, куба). | 1.Дать геометрическое обоснование: почему треугольная пластина, поставленная одной из своих сторон на пол и упирающаяся вершиной в стену, находиться в устойчивом положении. | 1.При формовке кирпича поступают так: закладывают глину в форму, а лишнюю глину снимают линейкой, передвигая ее по противоположным краям формы. Объяснить, почему при такой обработке поверхность кирпича будет плоской? |
2.На использовании какой теоремы основана проверка плоскости с помощью контрольной линейки. | 2.Почему, чтобы запереть дверь достаточно зафиксировать ее в одной точке, язычком замка? | 2.Когда плотнику надо распилить брус, он прочерчивает по двум смежным граням прямые, и, затем пилит так, что полотно пилы идет по этим прямым. Почему он получает плоскую поверхность? | 2.Почему мотоцикл с коляской стоит устойчиво. А для мотоцикла без коляски нужна дополнительная опора? |
Задание 3
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант | 4 вариант |
Тест «Аксиомы стереометрии» Вариант 1 1.Верно ли: любые три точки лежат в одной плоскости. 2.Вставьте пропущенные слова: Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они … на одной прямой. 3.Пересечением двух плоскостей является А) точка Б) прямая В) отрезок | Тест «Аксиомы стереометрии» Вариант 2 1.Верно ли: любые четыре точки лежат в одной плоскости. 2.Вставьте пропущенные слова: Если … точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. 3.Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве? А) две параллельные прямые Б) две скрещивающиеся прямые В) три точки | Тест «Аксиомы стереометрии» Вариант 3 1.Верно ли: любые четыре точки не лежат в одной плоскости. 2.Вставьте пропущенные слова: Две различные плоскости могут иметь только одну общую … 3.Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой плоскости? А) одна Б) две В) три | Тест «Аксиомы стереометрии» Вариант 4 1.Верно ли: если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 2.Вставьте пропущенные слова: Две прямые, параллельные некоторой … , могут пересекаться. 3.Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые? А) одну плоскость Б) две плоскости В) бесконечно много плоскостей |
Контрольные вопросы:
Как называется раздел геометрии изучающий фигуры на плоскости?
Сформулируйте аксиому С1.
Назовите основные фигуры в пространстве.
Сформулируйте аксиому С2.
Сформулируйте аксиому С3.
Сформулируйте простейшие следствия из аксиом.