Исследовательская работа по теме: " Аликвоты"

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1 г. Белорецк.

Тема: «Аликвота»

Выполнили: Хабрахманова Маргарита 6 «В» Кимирилова Ольга 6 «В» Руководитель: Масленникова Татьяна Александровна.

2017 г.

Содержание: Введение

1. Из истории возникновения 2. Практика 3. Исследование 4. Заключение. 5. Список литературы.

Введение. В 5м классе мы проходили дроби. При объяснении темы, наш учитель по математике несколько раз повторял слово «Аликвота». Это слово показалось нам загадочным, и мы решили его исследовать. В этом нам усердно помогала наш учитель математики - Масленникова Татьяна Александровна. И вот в шестом классе, мы точно узнали, что такое аликвота и исследовали ее полностью. Актуальность этой темы: Слово аликвота заинтересовало нас тем, что большинство учащихся, родителей и работников школы №1, не только не знают такого понятия, но и не встречались с ним в жизни. 1.Цель работы узнать: Что такое аликвота? Откуда она к нам пришла? Какие действия можно выполнять с аликвотами? 2. Гипотеза: Понятие аликвоты пришло к нам из древности.

1. Из истории возникновения

Первый вопрос: Что такое аликвота? Аликвота – это дробь, в числителе которой всегда единица, а в знаменателе любое натуральное число. Второй вопрос: Откуда она к нам пришла?

Сейчас мы это узнаем…

Египтяне свободно производили арифметические действия не только над целыми числами, но и над дробями. Правда, они употребляли при счете только доли единиц, такие дроби, у которых в числителе единица (аликвота).

1/2, 1/3, 1/4 и так далее.

Однако это не мешало им решать задачи, которые имеют дробный ответ.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3, не совпадавшие с обозначениями для других дробей. Других дробей такого вида не существовало.

Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n.Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была дробь 2/3

Задача:

В папирусе Ахмеса есть задача:
« Как разделить 7 хлебов
между 8 людьми?»

Решение:

Мы с вами прямо сказали бы, что каждому должно достаться по 7/8 хлеба. У египтян числа 7/8 не было. И ответ задачи они записывали так.

7/8=1/2 + 1/4 + 1/8

Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба

и восьмушку хлеба.

Если бы пришлось эту задачу не на бумаге, а на деле, мы с вами просто отрезали бы от каждого из хлебов по восьмушке и получили бы 8 одинаковых порций.

А египтянин решал бы эту задачу иначе. Четыре хлеба он разрезал бы на половинки, да – на четвертушки, один – на восьмушки, а потом сложил бы 8 одинаковых кучек

1/2 + 1/4 + 1/8.

Минусы такого способа.

Складывать такие дроби было неудобно….

Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм долей (в виде суммы двух, трёх или четырёх аликвот).

Вывод.

Версия о том, что аликвота пришла к нам из древности, подтвердилась. Именно она пришла к нам из Египта.

Разные названия аликвот.

Хотим вам сказать, что у некоторых аликвоты были свои названия…

• 1/100- процент

• 1/1000-промилли

• 1/288-скрупулус

• 1/24-семиунция

• 1/8-сескунция

Хоть у них и разные названия, но все равно они все – аликвоты!

Третий вопрос: Какие действия можно выполнять с аликвотами?

Аликвоты можно – делить, умножать, вычитать и складывать.

Давайте попробуем каждое действие?

2. Практика:

Итак, начнем с действия «сложение»

Мы попробуем складывать случайные аликвоты, и посмотрим, всегда ли будут получаться аликвоты?

Начнем с четных знаменателей.

Допустим, аликвоты 1/2 и 1/6…

Проверим, общий знаменатель будет 6.

3/6+1/6= 4/6 – это не аликвота…

Проверим аналогичные, первым аликвотам аликвоты…

Допустим, 1/4 и 1/2

Проверим, общий знаменатель будет 4.

1/4 + 2/4 = ¾ - это не аликвота…

Теперь, давайте попробуем взять НЕ четные аликвоты?

Допустим, 1/7 и 1/9

Проверим, общий знаменатель будет 63

Получилось – 9/63 + 7/63

Давайте возьмем еще пример.1/3 и 1/7.

Общий знаменатель – 21

Получилось – 7/21 + 3/21=10/21 – это не аликвота.

Наша последняя проверка по действию «сложение», это примеры со смешанными знаменателями.

Возьмем простые аликвоты…

1/3 и 1/4

Ищем общий знаменатель, это будет 12

4/12 + 3/12 = 7/12

1/3 + 1/12 = /12 1/3 + 1/2*9 = 7/18

Давайте возьмем такие аликвоты? 1/3 и 1/6

Общий знаменатель 6.

2/3 + 1/6 = 3/6 = ½ - АЛИКВОТА!

1/n + 1/2n = 1/n

Вывод

При n кратным 3, получается аликвота.

Следующее наше действие – это «вычитание»

Мы попробуем вычитать случайные аликвоты и проверим, всегда ли будут получаться аликвоты?

Возьмем для начала аликвоты со смешанными знаменателями.

Допустим, 1/3 и 1/6

Проверим, общий знаменатель будет 6.

2/6 – 1/6= 1/6 – это аликвота.

Теперь, возьмем аликвоты с четными знаменателями.

Допустим,1/2 и 1/4

Проверим, общий знаменатель будет 4.

2/4 –1/4=1/4 - это аликвота.

Возьмем еще.

1/4 и 1/8.

Общий знаменатель – 8.

2/8 – 1/8 = 1/8. – аликвота.

Последняя проверка – с нечетными знаменателями.

1/3 – 1/7

Общий знаменатель – 21.

7/21 – 3/21 = 4/21 – это не аликвота.

Приведем еще один пример не четными знаменателями.

1/7 – 1/9.

Общий знаменатель – 63

9\63 – 7/63 = 2/63

Вывод:

Аликвоты в разности получаются только тогда, когда знаменатели уменьшаемой и вычитаемой аликвоты смешанные, или четные.

Следующее действие – это «деление»

Четные.

Возьмем аликвоты 1/6 и 1/4

Так как при делении дробей, вторую дробь нужно перевернуть и умножить на первую, мы перевернем аликвоту 1/4.

Таким образом, у нас получится – 1/6*4/1, сокращаем на единицы, и 6 и 4 на 2. получается дробь 2/3 – это не аликвота.

Следующий пример - 1/24 и 1/8

Переворачиваем вторую дробь, и у нас получается 1/24*8/1, сокращаем на один, и 24 и 8 на 8. получается дробь – 1/3. и это аликвота.

Давайте возьмем дроби, знаменатели которых будут не четными.

Допустим, 1/11 и 1/5.

Переворачиваем, получилось 1/11*5/1, сокращаем на один, после чего у нас получается 5/11…

1/ / 1/3.

Переворачиваем, и у нас получается пример на умножение

1/9 * 3/1. сокращаем на единицы и 9 и 3 на 3. получается 1/3.

Попробуем смешанные знаменатели в аликвотах.

1/3 / 1/2.

1/3 * 2/1 =2/3

Следующий пример.

1/9 / 1/4

1/9 * 4/1 = 4/9

Вывод:

В часности будет получаться аликвота, если знаменатели делимого и делителя четные или не четные числа. Если в знаменателях стоят смешанные числа, то аликвота не получится.

Самое последнее действие, которое можно совершить с аликвотами – это «умножение»

Тут и доказывать не нужно, потому что, аликвота умноженная на аликвоту, в произведении всегда будет давать аликвоту. И это очевидн

Анализ исследовательской работы.

№	класс	КОЛ-ВО УЧАЩИХСЯ	Вопрос 1 Знаете ли вы, что такое аликвота?		Вопрос 2 Встречались ли вы с таким понятием в жизни?		процент
							да	нет
			ДА	НЕТ	ДА	НЕТ
1	5А	31	2	29	4	27	19%	81%
2	5Б	24	0	24	3	21	13%	87%
3	6Б	24	2	22	5	19	29%	71%
4	6В	20	12	8	0	20	60%	40%
5	7Б	27	5	22	10	17	55%	45%
6	7В	6	0	6	0	6	0%	100%
7	7Г	25	1	24	10	15	44%	56%
8	7Д	7	0	7	0	7	0%	100%
9	8Б	21	6	15	3	18	43%	57%
10.	Взрослые:	15	0	15	2	13	13%	87%
	Всего:	200	17	172	37	153	27%	73%

Результаты исследования

Итак, гипотеза, которую мы выдвинули в начале нашего исследования, на практике подтвердилась. Следовательно, понятие аликвоты пришло к нам из древности, аликвоты можно –делить, умножать, вычитать и складывать..

Таким образом, на основании изученной литературы и анализа результатов общественного мнения, мы можем сделать вывод о том, что без знания аликвот вся современная жизнь не возможна и что аликвоты применяются в математике – аликвотная дробь, в музыке – аликвотная струна, физика, химия - аликвотная часть, аликвотная система,аликвотное колличество.

Заключение

Мы ответили и доказали все ответы, на поставленные нами вопросы…

Что такое аликвота? – это дробь, в числителе которой всегда будет 1.

Откуда она к нам пришла? – из древности (Египет)

Какие действия можно совершать с аликвотой? – действия просты, это сложение, вычитание, деление и умножение.

Литература

1. http://festival.1september.ru/2004_2005/index.php?numb_artic=213063-

История математики

2. Мир чисел. « Занимательные рассказы о математике». Санкт- Петербург « МиМ- Экспресс», 1995г.