История тригонометрии. Мавлютов Дильшат. Комментарии

История тригонометрии
















Работу выполнил
ученик 8 класса Б
Средней школы №75
города Ульяновска
Мавлютов Дильшат

Учитель Малкова Елена Михайловна

С тригонометрическими понятиями учащиеся средней школы впервые знакомятся в курсе планиметрии. На этом этапе учитель вводит тригонометрические соотношения и дает им названия: «си- нус», «косинус» и т.д., учащиеся выводят значения функций основных углов и далее отрабатывают тему «Решение треугольников».

Представленные определения и используемая для них символика являются необычными и сложными для учащихся, поэтому понимание учебного материала во многом зависит от иллюстрации глубинной сущности понятий, а для этого полезно обратиться к истории математики.

В первую очередь нас будут интересовать вопросы: «Откуда появилась необходимость рассматривать представленные выше соотношения сторон прямоугольного треугольника?» и «Как появилась символика, используемая в определениях (*)?».
Пояснение к презентации История тригонометрии.

«Откуда появилась необходимость рассматривать представленные на пошлом уроке соотношения сторон прямоугольного треугольника?» и «Как появилась символика, используемая в определениях (*)?».

Ключ к отгадке надо искать в практической деятельности людей, причем речь идет о временах настолько далеких (может второе тысячелетие до н.э., а может и ранее), что никакими письменными свидетельствами, позволяющими дать однозначный ответ, мы не располагаем. Поэтому позволим себе высказать некоторые догадки.

В древние времена строительство сооружений велось примерно таким образом и такими средствами, как и сегодня строят небольшие дома и подсобные помещения. При этом строители используют нехитрые инструменты: веревку, отвес, колышки и пр. Между прочим, в Древнем Египте сущест- вовали люди специальной профессии, которых называли гарпедонапты, что значит, натягиватели веревки. С них начиналось любое строительство. А зачем нужна веревка строителям? Чтобы ровно в линию выкладывать кирпичи или камни.

Вслушайтесь в слова «линия» и «лен». Действительно, откроем этимоло- гический словарь:

Линия. Через посредство немецкого языка заимствовано в начале XVIII в. из латыни. Лат. linea — «нитка» — производное от linum — «лен». Еще веревка нужна для того, чтобы получить прямой угол, например в целях строительства привычного для нас четырехугольного дома. Ведь такой дом построить легче всего. А строительство домов иных форм и сейчас является трудной архитектурной задачей.

Вы уже знаете, что одним из важнейших изобретений человечества было изобретение колеса. А почему? Да потому, что в природе колеса нет. Колесо - это именно человеческое изобретение. Теперь другой вопрос: а есть ли в природе прямой угол? Примеры привести можно (ветка, растущая перпендикулярно стволу дерева; само дерево, растущее перпендикулярно к земле и т.п.), но вряд ли перечисленное годится для того, чтобы создать шаблон прямого угла.

Издавна строители научились получать прямой угол с помощью веревки. В Древнем Египте заме- тили, что если на веревке завязать узелки на равном расстоянии друг от друга, и натянуть веревку так, чтобы, говоря современным языком, получался треугольник со сторонами 3, 4, 5, то угол, лежащий против наибольшей стороны, окажется пря- мым. С тех пор треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским.

Треугольник с кружками, обозначающими узлы, лучше всего поясняет суть дела. В Древнем Египте измерения были священным делом — уделом немногих образованных людей — жрецов.

Историю с натягиванием веревки продолжают еще несколько древних терминов: катет — значит «отвес», гипотенуза — «натянутая», а другой катет прямоугольного треугольника не назывался

катетом (т.е. отвесом), о нем говорили как об основании.

По натянутой веревке (другими словами, по гипотенузе) можно проводить стачивание боковой грани строящейся пирамиды.

Теперь мы подошли к главному вопросу: «Как объяснить строителям, по какому углу стачивать грань пирамиды?» (В Древнем Египте Пирамиду выкладывали из грубых крупных камней, и надо было ее отшлифовать или иным образом подкор- ректировать.) Один из способов: задать отношение высоты пирамиды к апофеме, или, если говорить о плоскости, задать отношение катета-отвеса к гипотенузе. Вот и получается прообраз косинуса угла стачивания. А когда задавались другие отношения — отношение катета- основания к катету-отвесу или отношение катета-основания к гипотенузе - это были прообразы понятий тангенса и синуса угла. В самом деле, задавать указанные отношения сторон прямоугольного треугольника очень удобно. Так, если на макете пирамиды определить отношение высоты пирамиды к ее апофеме как 2:3, то и для самой пирамиды это отношение сохранится, ведь большая пирамида есть подобие маленькой (макета пирамиды). Теперь вы понимаете: рассматривать отношения длин сторон прямоугольного треугольника очень удобно, так как для всех подобных прямоугольных треугольников эти отношения сохраняются (у подобных треугольников углы равны, а, значит, равны и тригонометрические функции углов). Судя по всему, на идею подобных фигур люди обратили внимание достаточно давно. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса

Видеофрагмент

II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которых на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров (своего рода «палетка»).

В дальнейшем геометрические знания накапливались, а тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках стали все чаще использоваться для решения таких задач практики, как нахождение расстояний до недоступных объектов. Приведем несколько примеров.

Легенда гласит, что Фалес (философ и математик) привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасыва- емой ею тени. Догадка Фалеса заключалась в том, что в течение дня бывает момент, когда длина тени каждого предмета равна высоте самого этого предмета. Он дождался момента, когда длина его тени стала равна его росту, и тогда, измерив тень пирамиды, вычислил ее высоту.

Сформулируем другую не менее известную задачу:

Задача 1. Определить расстояние от корабля, находящегося в море, до берега.

Расскажите, как решил эту задачу Фалес?

Как другим способом можно решить эту же задачу?

Решение. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель — в точке А. Построим прямой угол с вершиной в точке А. Откладываем на берегу отрезок АС и делим его пополам точкой В. Затем из точки С передвигаемся по прямой m, перпендикулярной ВС, до тех пор, пока не дойдем до точки D, из которой точки К и В видны лежащими на одной прямой. Отметим полученную точку как D. Прямоугольные треугольники BCD и ВАК равны, следовательно, AK=CD, а длину отрезка CD можно непосредственно измерить.

Решение задач о нахождении расстояний до недоступных объектов, а также задач на вычисление недоступных высот было одним из источников развития тригонометрического знания.

Приведу еще одну очень известную задачу. Ее текст можно найти в трактате китайского математика III в. Лю Хуэя «Математика морского острова». Несколько странное название трактата объ- ясняется тем, что в нем решены различные задачи на определение расстояний до недоступных объектов, расположенных на острове, причем точка наблюдение находится вне его.

Приведем одну из задач Лю Хуэя.

Задача 2. Наблюдают недоступный морской остров. Для этого установили пару шестов MN и KL одинаковой высоты в 6 бу (6 шагов). Предыдущий шест от последующего удален на 1000 бу (МК). Пусть последующий шест (KL) вместе с предыдущим (MN) находится на одной прямой с островом. Если отойти от предыдущего шеста по прямой на 123 бу (МР), то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова (NРВ). Если отойти по прямой от последующего шеста на 127 бу (KQ), то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста также совпадающим с вершиной острова (LQB). Какова высота острова (АВ) и его удаленность от первого шеста (AM). 

Решение. Рассмотрим две пары подобных треугольников АВР, MNP и ABQ, KLQ. В современных обозначениях запишем:

(*)   6x+1236x+1127AB= , AB= 123 127 7

где х = AM.

Приравнивая выражения для АВ, найдем

х = 30750 (бу), АВ= 1506 (бу). Заметим, что в выражениях (*) отношение есть значения тангенсов углов NPM и LQK, так что в манипулировании с подобными треугольниками уже содержатся предпосылки к переходу к тригонометрическим понятиям. 6 6 и 123 127 6 6 и 123 127

До сих пор мы рассматривали самую глубинную предысторию зарождения тригонометрического знания, но именно она отразилась в самом слове «тригонометрия», которое буквально означает «измерение треугольника». Действительно, термин тригонометрия состоит из двух греческих слов: тригоном, что означает «треугольник» и метрейн, что означает «измерять».

Данный первичный исторический рассказ помогает объединить в сознании учащихся такие темы, как:

 знакомство с прямоугольным треугольником,

 теорема Пифагора,

 подобие треугольников,

 тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

И главное, у учащихся возникает желание посмотреть на эти темы как с исторической, так и с современной точек зрения, т.е. повышается интерес к изучению геометрии.

Теперь мы перейдем собственно к моменту, когда мы можем обратиться непосредственно к истории тригонометрии.

Итак, тригонометрия, как и всякая наука, вырастала из потребностей человеческой практики, но эти потребности не ограничивались, как мы упоминали выше, только лишь потребностями строительства или нахождения расстояний до недоступных объектов. Задачи мореплавания, требовавшие по звездам определять правильный курс корабля, задачи определения по звездам пути при движении караванов в пустыне, задачи земледелия, требовавшие введения точного календаря, и многие другие обусловили развитие астрономии, а с ней и тригонометрии. Причем сферическая тригонометрия развивалась наряду с плоской.

По сути, тригонометрия появилась в древности как один из разделов астрономии. Дело в том, что преобладающей гипотезой о строении Вселенной была геоцентрическая, согласно которой Земля есть шар, расположенный в центре небесной сферы, которая равномерно вращается вокруг своей оси. Светила считаются расположенными на этой сфере. При изучении их движения большое значение приобретают задачи о расположении точек и фигур на сфере. Работы, в которых подобные задачи решаются, получили название сферики. Плоская три- гонометрия при таких условиях отнюдь не играла лишь второстепенную роль по сравнению со сферической тригонометрией. У нее была своя область приложений: помимо решения задач на определение расстояний до недоступных объектов, она являлась частью практической астрономии — фигуры на сфере проектировались на плоскость горизонта, меридиана и т.д., и таким образом многие задачи сводились к плоским случаям.

Отдельные вопросы из тригонометрии уже успешно решали древнегреческие астрономы, однако они рассматривали хорды, а не синусы, косинусы и другие, как говорили в древности, линии. Если говорить точнее, то греческие астрономы рассматривали по сути только синус, вместо которого использовали хорду, равную удвоенной линии синуса половинной дуги.

Метод составления тригонометрических таблиц состоял в следующем. В основе всех построений астрономов древности находится круг заданного диаметра. На нем рассматривалась единственная тригонометрическая характеристика: длина хорды, стягивающей дугу, соответствующую данному центральному углу. Задача состояла в со- ставлении таблицы значений этой функции с наибольшей, по возможности, точностью и высокой частотой в последовательности значений аргумента. По существу таблицы хорд являются таблицами синусов.

Первые тригонометрические таблицы (таблицы хорд), которые положили начало вычислительной тригонометрии, составил еще во II в. до н.э. древнегреческий астроном Гиппарх.

Венцом же развития астрономии и тригонометрии в Древней Греции можно считать работу «Большое математическое построение астрономии в 13 книгах» («Альма- гест») знаменитого астронома Клавдия Птолемея (II в. н.э.). Сведения по прямолинейной и сферической тригонометрии изложены в первой книге «Альмагеста». Показывая, как вычислять хорды, Птолемей делил окружность на 360 частей (градусов). Он составил такую таблицу синусов (хорд), которая много веков была единственным пособием при решении задач о треугольниках.

Начало учению о тригонометрических величинах было положено в Индии, начиная с IV—VI вв. Индийские ученые впервые в науке стали употреблять линию синуса как половину хорды, и составили первые тригонометрические таблицы синусов (полухорд). Им были известны также:

 основное тригонометрическое тождество,

 формулы приведения,

 формула синуса половинного угла.

Заметим, что греческое слово хорде, от которого происходит наш термин «хорда», буквально означает «тетива лука», «струна». Индийские ученые впервые предложили рассматривать величину по- лухорды (синуса), которую называли архаджива, что буквально означает «половина тетивы лука», но потом стали называть джива, что значит «тетива лука».

Как по примеру индийских математиков не увидеть на рисунке лук с натянутой стрелой?

Арабские математики, которые позже (начиная с VIII в.) осваивали накопленные математические знания, писали слово джива в арабской транскрипции как джиба, что созвучно арабскому слову джайб, которое дословно означает «пазуха».

Вместе с военными завоеваниями арабов слово «пазуха» для обозначения полухорды в тригонометрии попало в Европу (Х-ХП вв.), где европейские ученые перевели его на латынь как «синус». Поскольку латинский язык считался общепризнанным научным языком в Европе, то термин «синус» нашел там широкое распространение и сохранился до настоящего времени. Кстати, этот термин применяется не только в математике: сейчас в медицине заболевание пазух носа называют синуситом.

Индийские ученые рассматривали линии синуса BD и косинуса OD (рис. 10) только для острого угла.

Интересно заметить, что европейские математики XII—XVI вв. часто называли синус sinus rectus (прямой синус), а радиус тригонометрической окружности sinus totus, т.е. весь (полный) синус. Слово «косинус» — это сокращение латинского выражения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус» или, иначе, «синус дополнительной дуги»; вспомните: cosα = sin(90° - α).

В IX—X вв. центр математических исследований, значит, и центр развития тригонометрического знания, переместился в Среднюю Азию, где трудами арабских математиков тригонометрия впервые выделилась из астрономии как самостоятельная наука. В частности, ученые стран ислама ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс. В трактате «Плоские четырехсторонники» ученого- энциклопедиста и государственного деятеля XIII в. Насирэддина Туси плоская и сферическая тригоно- метрия выступают как самостоятельные предметы. Для сравнения, в Европе тригонометрия достигла этого уровня, стала успешно развиваться и трактоваться как самостоятельная наука лишь в XV в., и начало этому было положено трудами немецкого ас- тронома и математика, профессора Региомонтана.

Понятия «тангенс» и «котангенс», как и первые таблицы этих новых тригонометрических величин, родились не из рассмотрения тригонометрической окружности, а из учения о солнечных часах - гномоники. Солнечные часы первоначально представляли собой шест, вертикально воткнутый в землю (греческое слово гномон — название этого шеста — означает «распознаватель»). Время отсчитывалось по длине и направлению тени, отбрасыва-емой шестом. Один из современников ал- Хорезми (IX в.) математик и астроном Ахмед ал-Мазави, названный «Вычислитель» (ал-Хабаш, ал- Хасиб), занимаясь гномоникой, констатировал, что отношение дли- ны тени и к постоянной длине l гномона солнечных часов меняется в зависимости от высоты Солнца, измеряемой углом φ. Он принял l за 1 и составил таблицу значений теней (и), соответствующих значениям углов φ = 1°, 2°, 3°, ..., т.е. (в современной символике) u = l*ctg φ или (если учесть, что l = 1) и = ctg φ. Эта таблица дала возможность определять высоту Солнца по длине тени. Отношение длины тени к длине шеста определяет высоту солнца над горизонтом.

Определите и вы высоту солнца над горизонтом, пользуясь таблицей тангенсов. Задача З а д а ч а  Тень Т е н ь ВС от В С о т отвесного шеста АВ о т в е с н о г о ш е с т а А В высотою 4,2 метра в ы с о т о ю 4 , 2 м е т р а имеет 6,5 метров и м е е т 6 , 5 м е т р о в длины. Какова в д л и н ы . К а к о в а в этот момент э т о т м о м е н т высота солнца над в ы с о т а с о л н ц а н а д горизонтом, т. е. г о р и з о н т о м , т . е . как велик угол С ? к а к в е л и к у г о л С ?

Живший в конце X в. в Багдаде Абу- ль-Вафа в своей «Совершенной книге» — своем «Альмагесте» — вводил тригонометрические линии не через прямоугольный треугольник, а с помощью окружности, определяя, например, тангенс как отрезок ка- сательной к окружности. В некоторых местах Абу-ль-Вафа принимал радиус окружности за единицу.

В XIII-XIV вв. при переводе арабских произведений на латинский язык новые тригонометрические функции котангенс и тангенс были названы umbra recta — прямая тень, и umbra versa — обратная тень. Известно, что линию тангенсов уже использовал в своих работах английский математик Томас Брадвардин (1290-1349).

Термин tangens (от лат. касающийся [отрезок касательной]) был введен только в 1583 г. датским математиком Томасом Финком в связи с ролью этой линии на тригонометрической окружности. Термин «котангенс» образован по аналогии с термином «косинус», и встречается впервые в 1620 г. у английского ученого Эдмунта Гутера.

В Европе первое сочинение, в котором тригонометрия рассматривалась как самостоятельная математическая дисциплина, написал в 1462—1464 гг. немецкий математик и астроном Региомонтан. Он называл свой труд «Пять книг о треугольниках всех видов». В это время тригонометрия по-прежнему продолжала формироваться и развиваться под определяющим влиянием астрономии.

В XV—XVI вв.

 усовершенствовались таблицы тригонометрических функций,

которые были необходимы астрономам,

 разрабатывались все новые вычислительные приемы,

 рассматривались все более сложные задачи решения плоских и сферических треугольников,

 оттачивалась техника работы с тригонометрическими линиями.

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540-1603) использовал тригонометрию для ре- шения кубического уравнения. В некоторых его результатах устанавливалась связь между тригонометрией и алгеброй. Кроме того, он положил начало буквенным обозначениям в тригонометрии. Таким образом, на пороге XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление — ана- литическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур, а учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то развитие нового (аналитического) направления привело к тому, что тригонометрия постепенно стала одной из глав математического анализа.

Начало этого преображения тригонометрии связано с именем знаменитого ученого много лет работавшего в Петербурге Леонарда Эйлера (1707—1783). Эйлер усовершенствовал как символику, так и содержание тригонометрии.

Перечислим некоторые его нововведения в этой области.

1. До Эйлера совсем редко рассматривались тригонометрические функции дуг, превышающих π. Лишь в его трудах разрабатывается учение о тригонометрических функциях любого аргумента и впервые ясно изложен вопрос о знаках тригонометрических функций в каждом квадранте.

2. В отличие от своих предшественников Эйлер исключил из своих формул R - целый синус (sinus totus), принимая R = 1 и упрощая таким образом записи и вычисления.

3. Понимая аргумент тригонометрической функции не только как угол или дугу, а как любую числовую величину, Эйлер впервые стал систематически излагать тригонометрию аналитическим путем.

До него каждая тригонометрическая теорема доказывалась отдельно на основании соответствующего каждому случаю геометрического чертежа. Эйлер же выводил теоремы, исходя из небольшого числа основных соотношений.

4. Для обозначения тригонометрических функций Эйлер использовал символы sinx, cosx, tangx, cotx и т.д., а также ввел употребляемые поныне обозначения а, Ь, с для сторон и А, В, С для соответствующих противоположных углов треугольника ABC, что способствовало появлению единой символики в тригонометрии.

5. Эйлер стал рассматривать тригонометрию как науку о тригонометрических функциях и придал ей современный вид.

Таким образом, именно имя Эйлера должен помнить учащийся, который учится работать с тригонометрической окружностью» выводит формулы тригонометрии, учится решать тригонометрические уравнения и неравенства, изучает свойства тригонометрических функций.

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть — учение о тригонометрических функциях - является частью более общего, по- строенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе. Другая же часть — решение треугольников - рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической).

И вот мы снова подошли к основам современной тригонометрии. И, надеюсь, определения , , , и используемая для них символика уже не кажутся вам столь же непонятными и запутанными, как и несколько дней назад. sin cos tg ctg

Литература

1.Власова И.Н., Малых А.Е. Очерки по истории элементарной геометрии. (Материалы для спецкурса по геометрии.) —

Пермь, 1998.

2.Глейзер Г.И. История математики в школе: VII —VIII кл. —

М.: Просвещение, 1982.

3.Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. —

М.: Просвещение, 1983.

4.Рыбников К.А. История математики: Учебник. –

М.:Изд-во МГУ, 1994.

5.Чистяков В.Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. —

М.: Учпедгиз, 1960.

6.Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. –