Информатика, 10 класс. Урок № 10.
Тема — Некоторые сведения из теории множеств
Цели урока:
образовательные: знакомство с понятием множества, подмножества и элементами множеств; способами задания множеств; видами множеств; знакомство с операциями, выполняемыми над множествами.
развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.
воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении заданий.
Ход урока:
I.Орг. момент
II. Ознакомление с новым материалом.
Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, создателем теории множеств.
Немецкий математик, создатель теории множеств
Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты, деревянные предметы, числа и т. д.
Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.). Множество можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки: B={Банан, яблоко, виноград….}, D={1,2,3,4,5….} Из некоторых элементов одного множества можно составить новое. Тогда такое множество Е принято называть подмножеством D:
D={1,2,3,4,5,6,7,8…} E={2,4,6,8…}
Для наглядности множества можно изображать в виде окружности, так называемых кругов Эйлера, где элементы, входящие в множество, изображают внутри круга, а остальные вне:
Пересечением множеств называется множество их общих элементов.
Например:
Пусть множество A будет состоять из элементов 1,3,6,9,12,15, а множество B из элементов 2,4,6,8,10,12. Тогда в пересечение этих множеств будет входить 2,6,12:
A={1,3,6,9,12,15} B={2,4,6,8,10,12} A⋂B={2,6,12} |
Множество может не содержать элементы, тогда оно будет называться пустым.
Если множества не имеют общих элементов, то их пересечение — пустое множество:
С⋂D=ø |
Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов:
A={1,3,6,9}
B={2,4,6,8}
A⋃B={1,2,3,4,6,8,9}
Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В:
A={1,3,6,9}
B={2,4,6,8}
A\B={1,3,9}
Если множество А является подмножеством B, то дополнением называется разность множества А и В:
A={2,4,6}
B={1,2,3,4,5,6}
Мощностью множества называется число его элементов: A={1,2,3,4,5,6}
|A|=5
Таким образом, мощность непересекающихся множеств будет являться суммой мощностей каждого множества:
A={1,3,5,7}
B={2,4,6,8}
|A⋃B|=8
Для вычисления мощности пересекающихся множеств можно использовать принцип включений и исключений:
|A⋃B|= |A|+|B|–| A⋂B|
A={1,2,3,4,5,6}
B={2,4,6,8}
|A⋃B|=6+4–3=7
Для вычисления мощности пересечения трех множеств принцип включений и исключений выглядит так:
|A⋃B⋃С|= |A|+|B|+|C|–|A⋂B|–|A⋂C|-|B⋂C|+|A⋂B⋂C|
Задание №1.
В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25 детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем — 3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?
Дано:
|A|=17, |B|=8, |C|=13
|A⋂B|=3, |A⋂C|=10, |B⋂C|=2
|A⋂B⋂C|=1
по формуле включения:
|A⋃B⋃С|= |A|+|B|+|C|–|A⋂B|–|A⋂C|–|B⋂C|+|A⋂B⋂C|=17+8+13–3–10–2+1=24
Таким образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта, ответ 1
Задание №2.
Множество общих элементов двух множеств
Совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое
Число элементов множества
Множество элементов, не входящих в подмножество
Множество, состоящее из всех элементов двух (или более) множеств и не содержащее никаких других элементов
Проверьте свои ответы:
Пересечение
Множество
Мощность
Дополнение
Объединение
Задание №3
Закрасьте область цветом:
Зеленым — R\(P\Q)
Красным — (P⋂R)\Q
Желтым — (P∪Q)\R
Ваше решение должно быть таким:
Элементы можества
Задание №4
Пусть заданы три множества:
A={2,4,6,8,10,12,14}
B={3,6,9,12,15,18,21,24}
C={4,8,12,16,20,24,28}
Найдите элементы множества ((A\B) ∪(B\A)) ⋂C
| {4,8,12,24} |
| {4,6,8,12,24} |
| {4,8,24} |
| {12} |
Логические функции. Площадь
Задание №5
На полу площадью 15 кв. м лежат три ковра. Площадь одного ковра 7 кв. м, другого — 6 кв. м, третьего — 8 кв. м. Каждые два ковра перекрываются на площади 2 кв. м. Все три ковра перекрываются на площади 1 кв. м.
Какова площадь пола, не покрытая коврами?
Наименьшие элементы множества
Перечислите наименьшие три элемента множества A⋂B, если A={x∈ℤ| x0| x нацело делится на 3} и B={x∈ℤ| x0| x нацело не делится на 6}.
Трудные задачи
Задание №6
Антон, Артем и Вера решили вместе 100 задач по математике. Каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу трудной, если ее решил только один человек, и легкой, если ее решили все трое. Насколько отличается количество трудных задач от количества легких?
Мощность можества
Задание №7. Используя данные таблицы найдите мощность множества L⋂K.
СбрЛогические элементы компьютеров
Задание №8.
Закрасьте области Q\(P⋂Q), (P\Q)∪(P⋂Q) и R\(P∪Q)
Зеленым цветом - Q\(P⋂Q)
Красным цветом - (P\Q)∪(P⋂Q)
Желтым цветом - R\(P∪Q)
PQR
Отработка умений и навыков
Вопросы и задания к п.17
осить ответы Сохранить и перейти к следующему
1. Если множество X — это множество натуральных чисел, делящихся нацело на 2, а У — множество натуральных чисел, делящихся нацело на 3, то что будет:
1) пересечением этих множеств;
2) объединением этих множеств?
Ответ
1. Множество натуральных чисел, делящихся на 6.
2. Множество натуральных чисел, каждый элемент которого делится либо на 2, либо 3, либо на 6.
2. Пусть множество X — это множество натуральных чисел, делящихся нацело на 18, a Y — множество натуральных чисел, делящихся нацело на 14. Укажите наименьшее число, входящее:
1) в пересечение этих множеств;
2) в объединение этих множеств?
Ответ
Если число делится нацело на 18, то оно принадлежит множеству Х
Если число делится нацело на 14, то оно принадлежит множеству Y
1) Если число лежит в пересечении множеств Х и Y, то оно делится и на 18, и на 14.
Наименьшее такое число — это наименьшее общее кратное чисел 18 и 14 НОК (18, 14)
18 = 2 * 3 * 3
14 = 2 * 7
НОК (18, 14) = 2 * 3 * 3 * 7 = 126
2) Если число лежит в объединении множеств Х и Y, то оно делится на 18 или на 14.
Наименьшее такое число — это 14
4. В первую смену в лагере «Дубки» отдыхали: 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. При этом 10 человек были и отличниками, и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 — спортсменами и победителями олимпиад, 3 — и отличниками, и спортсменами, и победителями олимпиад. Сколько ребят отдыхало в лагере?
Ответ
1)30-10-5-3=12(отличников)
2)28-10-8-3=7( победители олимпиад)
3)42-5-8-3=26 (спортсменов)
4)7+26+12=45(человек)
Подведение итогов урока.
Домашнее заданиеп. 17 стр.166-172, вопросы 3,5 на стр.173