Конспект урока:методы решения тригонометрических уравнений

Урок по математике в 11-м классе по теме:

«Решение тригонометрических уравнений в подготовке к ЕГЭ»

Цель:

• обобщить основные методы решения уравнений;

• развивать способность выбирать рациональные способы решения уравнений;

• продолжать подготовку к единому Государственному экзамену.

• проверка знаний и умений по теме «Решение уравнений».

Задачи урока:

• Создать условия для осознанного усвоения видов уравнения и их решения;

• Повторить основные алгоритмы решения уравнений различных видов;

• Развитие познавательных интересов на уровне любопытства, любознательности, поиска способов решения поставленной задачи;

• Формирование самостоятельности мышления, мыслительных операций: сравнения,обобщения, аналогии.

Ход урока

Бывают разные виды уравнений. Умения решать их очень важно не только для математики, но и для других наук. А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобится нам на экзамене. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

- Какие виды уравнений вы знаете? (Линейное, квадратное, биквадратное)

- Как решить линейное уравнение? (Все слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

- Как решить квадратное уравнение? (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

2) Если надо решить биквадратное уравнение ах⁴ + bx² + c=0, то вводим новую неизвестную, например, y=x², получаем квадратное уравнение: ay² + by + c=0. Решив это уравнение, найдем корни y₁ и y₂. Чтобы найти корни исходного уравнения, т.е. x₁ и x₂, надо решить два уравнения 1) x² = y₁ и 2) x² = y₂.

3)уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным.

4)простейших показательных уравнений. Пример . 9^х = 27,

5) логарифмические уравнения

6) тригонометрические уравнения

Задание 1. В доме, в котором живёт Игорь, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Игорь живёт в квартире 47. На каком этаже живёт Игорь?

Решение.

На первом этаже квартиры под номерами с 1 по 6, на втором – номера с 7 по 12, на n-м этаже квартиры с номерами с  по . Для нахождения этажа n, номер квартиры 47 разделим на 6, округлим до наибольшего целого и проверим диапазон значений, получим:

 этаж

и при n=8, имеем квартиры с номерами  по . Все верно.

Действительно так, но сегодня у нас урок закрепления навыков решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ.

Запишите в тетради тему урока: «Методы решения тригонометрических уравнений»

Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Надо сказать, что тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов. Будем работать и вместе, и индивидуально.

Вопросы для учащихся:

1) Какие уравнения называют тригонометрическими? - Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2 Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений? - cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a

3 Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение? - Зависит от а: может не иметь корней, может иметь множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.

4 Что значит решить тригонометрическое уравнение? - Найти множество корней или убедиться, что корней нет

5 В уравнениях cos x = a; sin x = a оцените число а? Если а1, то нет корней.

6. Решите простейшие тригонометрические уравнения

Напомните типы тригонометрических уравнений и методы их решения

• Уравнения, сводящиеся к квадратным a sin² x + b sin x + c = 0

• Однородные уравнения а sin x +b cos x = 0 a sin² x + b cos²x +c sin x cos x = 0

• Уравнения, решаемые разложением левой части на множители а(х) b(x) =0

Уравнения вида а sin x +b cos x = с tg α

. Устная работа

sin² α +cos² α=

1+ tg² α=

sin(-α)=

tg (-α) =

sin 2α=

Разгадывание ребуса.

• “Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ”.
  
  
  

Задание 1. Решите уравнение 8 cos⁴x +3 sin²x = 8

Решение.

1. Определите тип уравнения

2. Наметьте план решения

3. Введите соответствующую замену переменной

4. Найдите область допустимых значений введенной переменной

5. Решите полученные простейшие уравнения

6. Запишите верно ответ

Учитывая, что из основного тригонометрического тождества sin²x = 1- cos²x, получим

8 cos⁴x +3 (1-сos²x) = 8

8 cos⁴x -3 сos²x - 5 = 0

Исходное уравнение свелось к квадратному относительно сos²x

Пусть сos²x = t, при условии , тогда 8t²-3t-5=0,

откуда t₁=1, t₂= -5/8cos² x =1, cos x =, x=,

Ответ. x=,

Вариант 5. Задание 13. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Упростим уравнение, имеем:

Делаем замену , получим:

.

Решаем уравнение, получаем:

Переходя обратно к синусу, имеем

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке . Получим число .

Ответ: а) ; б) .

Вариант 4. Задание 13. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Упростим уравнение, получим:

Сделаем замену , , получим:

.

Решаем уравнение, имеем:

Переходя к косинусу, получаем

б) С помощью решения неравенств выберем корни уравнения на промежутке , получим:

- для решения :

имеем одно целое значение n=-2 и корень ;

для решения :

имеем одно целое значение m=-2 и корень .

Ответ: ; б) .

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

Определяем ОДЗ: :

Делаем замену , получаем:

Переходим к синусу:

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке . Получим число .

Ответ: а) ; б) .

Решить самостоятельно :

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Преобразуем уравнение, получим:

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке . Получим числа: .

Ответ: а) ; б) .

Итог урока.

Вывод:

- обобщили знания и отработали навыки решения тригонометрических уравнений различными способами, провели подготовку к ЕГЭ;

- развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;

- развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.

Д/З вар17-20 №13, Вар№17-1часть