Координаты и векторы. Задание для самоподготовки

Координаты и векторы в пространстве.Задачи.

Решить в тетради задачи:

1. Даны точки А(2;-4;1) и В(-2;0;3). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ, б) найдите координаты и длину вектора , в) найдите координаты точки С, если

2. Даны точки А(-3;1;2) и В(1;-1;-2). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ, б) найдите координаты и длину вектора , в) найдите координаты точки С, если

3. Даны точки А(5;-2;1) и В(-3;4;7). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ, б) найдите координаты точки С, если А – середина отрезка СВ, в) найдите расстояние от точки А до плоскости Оху.

4.Даны точки А(-2;3;4) и В(4;-1;6). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ, б) найдите координаты точки С, если В – середина отрезка АС, в) найдите расстояние от точки В до плоскости Оуz.

5. Даны векторы и . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Базовые векторы . Даны векторы , причем . Найдите: а) , б) , в) значение m, при котором векторы и перпендикулярны.

7. Базовые векторы . Даны векторы , причем . Найдите: а) , б) , в) значение m, при котором векторы и перпендикулярны.

8. Даны точки А(2;1;-8), В(1;-5;0), С(8;1;-4). Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный. Найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середину боковых сторон.

9. Даны точки А(-1;5;3), В(-3;7;-5), С(3;1;-5). Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный. Найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середину боковых сторон.

10. Вершины треугольника ABC имеют координаты А(m;-3;2), В(9;-1;3), С(12;-5;-1). Определите значения m, при которых угол С треугольника - тупой.

11. Вершины треугольника ABC имеют координаты А(m;-3;2), В(8;-7;-2), С(12;-5;-1). Определите значения m, при которых уголВ треугольника острый.

12. Найдите угол между прямыми АВ и CD, если А(1;1;2), В(0;1;1), С(2;-2;2), D(2;-3;1).

13. Найдите угол между прямыми АВ и CD, если А(3;-1;3), В(3;-2;2), С(2;2;3), D(1;2;2).

14. Докажите, что четырехугольник ABCD– параллелограмм, если:

а) А(1;2;-3), В(0;1;1), С(3;-2;-1), D(4;-1;-5),

б) А(2;1;2), В(1;0;6), С(-2;1;4), D(-1;2;0).

15. Даны точки А(-1;5;3), В(1;1;-3), С(3;-2;6). Докажите, что треугольник АВС – прямоугольный, найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

16. Даны точки А(-1;5;3), В(-1;-3;9), С(3;-2;6). Докажите, что треугольник АВС – прямоугольный, найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла.