Лекция для группы Св11 на 21.05.2020 по теме «ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ОБЪЕМА»

21.05. 2020 год

Лекция для групп Св11 по теме

«ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ОБЪЕМА»

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Вообще в интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности вращения и многое другое. Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? ... Интересно, кто что представил… =))) Её площадь мы уже находили. Также находили и объем, посмотрите свои лекции за январь, именно тогда мы записывали формулы площади и объема через интеграл. Там же в лекциях есть решение таких задач. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс ОХ;
– вокруг оси ординат ОУ.

Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями  ,   вокруг оси   .

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости   необходимо построить фигуру, ограниченную линиями  ,  , при этом не забываем, что уравнение   задаёт ось. Чертёж здесь довольно прост:

Искомая плоская фигура заштрихована , именно она и вращается вокруг оси ОХ.  В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси  .

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число  . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция  … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы   сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси  . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат:  , таким образом интеграл всегда неотрицателен, что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Ответ: 

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы  . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т. д

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями 2х-у=0, у=0, х=3

Это пример для самостоятельного решения.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями  ,  ,   и 

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями  ,  ,  ,  , не забывая при этом, что уравнение   задает ось  :

Искомая фигура заштрихована. При её вращении вокруг оси   получается такой бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая опирается ось ОХ отрезком от 0 до 1.Это большая верхняя трапеция. При её вращении вокруг оси   получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через  .

Рассмотрим фигуру, которая также опирается на ось ОХ отрезком от 0 до 1. Это маленькая нижняя трапеция, которая при вращении образует дырку в так называемом бублике. Если вращать данную фигуру вокруг оси  , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через  .

И, очевидно, разность объемов   – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, ограничена сверху прямой  , поэтому:

2) Фигура, ограничена сверху прямой  , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения: 

Ответ: 

Итак, чтобы найти объем тела вращения, необходимо применить интегральную формулу объема:

СОСТАВИТЬ КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ПО ТЕМЕ И РЕШИТЬ ПРИМЕР 2