Лекции по теме "Логарифмы".

11 класс тема «Логарифм»

Учитель: Рудая В.В.

ЛЕКЦИЯ 1 Понятие логарифма

Повторение: Выражение а^х называется степенью (положительное число). Число а -основание степени (положительное число), число х – показатель степени (действительное число).

При изучении математики нам очень часто приходилось иметь дело с уравнениями. Напоминаю, уравнение – это равенство, содержащие переменные. Решить уравнение, значит найти все его корни (значения переменной) или доказать, что корней нет.

Примеры:

1. 20 + х = 100; х = 100-20; х =80; ответ:80

2. 5 * х =30; х = 30÷5; х =6; ответ:6

3. Х² =16;х =±4; ответ: ±4

Обращаю Ваше внимание на то, что при нахождении корня часто приходиться пользоваться обратными действиями: сложение – вычитание; умножение – деление; возведение в степень – извлечение корня этой-же степени.

Рассмотрим следующее уравнение 2^х = 32. Легко найти корень методом подбора – это число 5, т.к. 2⁵ =32.

А как Вам такое уравнение 2^х = 35. Думаете, что это уравнение не имеет корней, ничего подобного! Корень есть и понятно, что это число больше 5, но меньше 6.

С подобной ситуацией мы уже встречались, когда, решая уравнение х² =5, поняли, что надо вводить новый символ математического языка – корень квадратный из 5. Обдумывая ситуацию с уравнением 2^х = 35, математики ввели в рассмотрение новый символ log₂, который назвали логарифмом по основанию 2 и с помощью этого символа корень уравнения 2^х = 35 можно записать так: х = log₂ 35 (читается: «логарифм числа 35 по основанию 2)

ВЫВОД: Любое уравнение вида а^х = b, где a и b – положительные числа, причем, число а не равно 1 имеет единственный корень:

Х = log_ab (логарифм числа b по основанию а)

Числа a и b – положительные по определению степени, число а не равно 1, т. к. в противном случае уравнение а^х = b может иметь бесконечное множество корней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Примеры:

log₂ 8 = 3, так как 2³ =8

log₃ ( ¹/₂₇ ) = -3, так как 3^-3 =¹/₂₇

log_1/2 32 = -5, так как (1/2)^-5 =2⁵ =32

Особо выделим три формулы (попробуй обосновать их самостоятельно):

log_aа = 1 log_a1 = 0 log_aа^с = с

Например,

log₂2 = 1, log₃ 3⁶⁷ = 67, log₁₂₃1 =0

Кстати, число log₂ 35 – это иррациональное число. Напоминаю, что такие числа нельзя записать в виде обыкновенной дроби или бесконечной периодической дроби. Если у тебя есть программируемый калькулятор, с помощью которого можно вычислять логарифмы, то можешь удостовериться, что получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь (также как и при вычислении квадратного корня из 5 или очень знакомое нам число π). Очень часто приходиться иметь дело с логарифмом по основанию 10. Такой логарифм называют десятичным. Вместо символа log₁₀ принято использовать символ lg (гораздо проще). Например, вместо log₁₀6,7 записываем lg6,7.

Согласно определению логарифма получаем основное логарифмическое тождество

а^х = b, а так как Х = log_ab, то получаем а^logab = b

Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.

2

11 класс тема «Логарифм» Учитель: Рудая В.В.

ЛЕКЦИЯ 2 Свойства логарифма

Вспомним полученные знания из лекции 1 по данной теме и ответим на вопросы (устно):

1. Дайте определение логарифма числа.

2. Дайте определение десятичного логарифма.

3. Сформулируйте основное логарифмическое тождество

4. Перечислите изученные свойства логарифмов.

Вычислите (в тетрадях):

1. 5 10. 2+

2. 11.

3. 2 12. -

4. 13. 2

5. 14.

6. 

7. 

8. 

9. ()

Если возникли трудности, то вспомни свойства степеней и корней:

Введем новые свойства логарифмов, с помощью которых вы должны научиться решать и упрощать выражения, содержащие логарифмы

В тетради оформляем таблицу (переписываем и разбираемся по каждому свойству!)

Вся теория логарифмов строится на определении и свойствах. Определение надо выучить, а свойства отработать на упражнениях. Приступим!

Из учебника в тетради выполнить задания №488, №489, №490, №495, 496.

У многих из вас возникает вопрос «А где же эти логарифмы встречаются и применяются в жизни?»

Историческая справка по теме.

«Зачем и где применяются логарифмы»

Знания логарифмов и основных логарифмических свойств необходимы для людей многих профессий: физиков, химиков, астрономов, психологов, географов и экологии.

Логарифмы по основанию 10 до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки

Логарифмическая линейка хорошо знакома нашим родителям. Она позволяет выполнять умножение и деление чисел, возведение в степень и вычисление квадратных и кубических корней.

Шкала Рихтера - классификация силы землетрясений, созданная и представленная в 1935 г. геологом Чарльзом Рихтером. Шкала основана на принципе логарифма: каждое деление увеличивается в 10 раз, и его основанием является общая энергия, выделяемая при землетрясении.

В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер доказал, основной психофизический закон, в котором говорится, что интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии».

Логарифмы применяются и в психических явлениях. «Шкала Ландау» самый яркий пример. Знаменитый физик по ней оценивал заслуги своих коллег. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков имел класс 0,5, Бор, Дирак, Гейзенберг имели класс 1

Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах. Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Её направление обратное: чем больше значение звездной величины, тем слабее блеск объекта.

Xимическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин. Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, основанием логарифма служит число 10.

Играя на рояле, пианист играет на логарифмах. Ступени темперированной хроматической гаммы представляют логарифмы этих величин с основанием

Логарифмическая спираль часто встречается в природе. Впервые логарифмическая спираль описана Декартом, а потом была исследована Бернулли.

Паук Эпейра сплетая паутину, закручивает паутину, скручивая нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Живые существа обычно растут во всех направлениях , сохраняя общее начертание своей формы. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться.

Многие Галактики закручены по логарифмической спирали. Солнечная система, как одна из Галактик тоже закручена по такой спирали.

Предлагаю творческую работу - презентацию по данной теме (можно объединиться в творческую группу)

Вы сегодня погрузились в логарифмы,

Безошибочно их надо вычислять,

На экзамене, конечно, вы их встретите,

Остаётся вам успехов пожелать.

На следующем занятии продолжим изучать свойства логарифмов на более сложном уровне.

2