Мастер-класс "Реальный мир глазами математики"

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем городским мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды. Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Джованни Джакобо Маринони^[de] от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер приводит правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. В данном случае ответ был: «нельзя»^[1]. В письме Карлу Готлибу Элеру^[en] от 3 апреля 1736 года Эйлер обосновывает найденное им правило^[2], а позднее на эту тему Эйлер публикует статью в научном журнале Петербургской академии наук «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae»^[3].

Решение задачи по Леонарду Эйлеру[править | править вики-текст]

На упрощённой схеме города (графе) мостам соответствуют линии (ребра графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:

• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.

• Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.

• Если ровно две вершины графа нечётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой из нечётных вершин и завершить его в другой нечетной вершине.

• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (то есть все) — следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Число ребер, выходящих из вершины графа, называют степенью этой вершины.
– Вершина графа, имеющая нечетную степень, называется нечетной, а имеющая четную степень – четной.
– Назовите степень каждой вершины.
– Как связаны количество ребер и степени вершин?
– Число нечетных вершин графа четно.

Задание 1

Между 9 планетами Солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля- Меркурий, Плутон- Венера, Земля- Плутон, Плутон- Меркурий, Меркурий- Венера, Уран- Нептун, Нептун- Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер- Марс, Марс -Уран. Можно ли долететь на рейсовой ракете с Земли до Марса? Охарактеризуйте получившийся граф (связный, несвязный), определите степени его вершин.

Подсказка: Изобразите планеты в виде вершин, а маршруты в виде ребер графа (линий).

Число ребер, выходящих из вершины графа, называют степенью этой вершины.
– Вершина графа, имеющая нечетную степень, называется нечетной, а имеющая четную степень – четной.
– Назовите степень каждой вершины.
– Как связаны количество ребер и степени вершин?
– Верно ли, что число нечетных вершин графа четно?

Задание 2

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проходит по круговой системе- каждый из участников играет с каждым из остальных 1 раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галина с Еленой, Борис, как уже говорилось с Андреем и еще с Галиной, Виктор с Галиной, Дмитрий с Виктором и Елена с Андреем и Виктором. Сколько игр уже проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Подсказка: Изобразите учеников в виде вершин, а игры в виде ребер графа (линий). Что дает такой способ представления информации?

Реальный мир глазами математики

Мастер- класс учителя математики

МБОУ Зимовниковской СОШ №1

Костыриной И.А.

• Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. (А. Пуанкаре) 

Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

А. Пуанкаре 

2

1

3

4

Задача о семи Кенигсбергских мостах

1736 год

Можно ли пройти по всем семи мостам Кенигсберга, не проходя ни по одному из них дважды?

7

4

1

5

2

3

6

Леона́рд Э́йлер   (1707- 1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и 

механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук Академик Петербургской, 

Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.

Из теории графов

Граф   —множество вершин и множество отрезков или дуг, которые соединяют эти вершины попарно.

Объекты –вершины графа, а связи — дуги или рёбра.

Из теории графов

Связный

Несвязный

Из теории графов

Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер.

Нечетные вершины:

6,4,5,2.

Четные вершины:1,3.

Чтобы задача имела решение, надо, чтобы из каждой вершины выходило четное число ребер.

1

6

7

2

4

1

3

5

4

3

2

7

6

5

Очевидно, что данная задача решений не имеет ,

т. к. число ребер, выходящих из каждой

вершины- нечетно.

Карта Ростовской области

Задача о раскраске карт (проблема 4 красок)

Большинство географических карт- графы, вершинами которых являются точки, где сходится 3 линии и более, а ребрами- границы стран и территорий.

Карта Ростовской области

Задача о раскраске карт (проблема 4 красок)

1878 г. на одном из заседаний Британского географического общества выдающийся английский математик А.Кэли четко сформулировал поставленную задачу: "Доказать, что любую географическую карту на плоскости (или на глобусе) можно правильно закрасить четырьмя красками".

Графы и искусство

Композиции

В. Кандинского

Задание 1

Между 9 планетами Солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля- Меркурий, Плутон- Венера, Земля- Плутон, Плутон- Меркурий, Меркурий- Венера, Уран- Нептун, Нептун- Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер- Марс, Марс -Уран. Можно ли долететь на рейсовой ракете с Земли до Марса?

Задание 2

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проходит по круговой системе- каждый из участников играет с каждым из остальных 1 раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галина с Еленой, Борис, как уже говорилось с Андреем и еще с Галиной, Виктор с Галиной, Дмитрий с Виктором и Елена с Андреем и Виктором. Сколько игр уже проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

3

4

1

2

5

Красота математики столь совершенна, что самое красивое и правильное также оказывается самым полезным.

Дарси Томпсон