Математическая карта изучения темы уравнения, неравенства

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Линейные уравнения

Линейные неравенства

Определение. Линейное уравнение с одной переменной x называют уравнение вида , где a и b - действительные числа.

Определение. Линейное неравенство с одной переменной x называют неравенство вида ( )

Если , то линейное уравнение называют также уравнением первой степени.

Если , то линейное неравенство называют также неравенством первой степени.

Схема решения

Схема решения (для случая )

, тогда

a=0 a

Единственный

корень

корней нет

, тогда

x – любое решений

число нет

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Уравнение виды ax²+bx+c=0, где x - переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a , называется квадратным.

Схема решения уравнения общего вида

Схема решения приведенного уравнения (a = 0)

– дискриминант

Корней

Т.е. два разных корня нет

При подсчете ко-

два различных личества решений

корня считается за одно

значение корня

– дискриминант приведенного уравнения

, т.е. Корней

два различных нет

Два различных корня корня

Теорема Виета

В общем виде

Для приведенного уравнения

Е сли и - корни квадратного

уравнения ax²+bx+c=0, то

Е сли и - корни приведенного

квадратного уравнения

x²+px+q=0, то

Обратная теорема

Если сумма каких-то двух корней и равна , а произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

Если сумма каких-то двух корней и равна , а произведение равно q , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Если и - корни квадратного трхчлена ax²+bx+c (т.е. корни уравнения ax²+bx+c=0), то ax²+bx+c= a(x - )(x - )

Пример.

Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то = и тогда ax²+bx+c= a(x - )²

Пример.

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Определение. Неравенство вида ax²+bx+c 0 ( 0) называют квадратным, если a .

Схема решения (метод интервалов)

Решение:

1. Пусть f(x) = ax²+bx+c

2. Найти ОДЗ.

3. Найти нули функции, т.е. f(x) =0

4. Отметить нули функции и ОДЗ на числовой прямой, и найти знак функции на каждом из получившихся интервалов, на которые разбивается числовая прямая.

5. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Схема решения

Решение Решение

дробных уравнений дробных неравенств

Использование Использование Использование равносильных Использование

у равнений-следствий свойств соответ- преобразований метода интервалов

1.Приводим к виду ствующих функций 1. Фиксируем ОДЗ исходного

уравнения (неравенства).

2.Находим корни 2. Приводим к виду

уравнения (,

3.Выполняем проверку (неравенства) на ОДЗ исходного

подстановкой корней или выполняем равносильные

в исходное уравнение. преобразования так, чтобы

ввести удобную замену переменных.

Равносильные преобразования простейших дробных уравнений и неравенств