Методическая разработка теоретического занятия "Дифференциальное исчисление"

Департамент охраны здоровья населения Кемеровской области

Государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения

«Кемеровский областной медицинский колледж»

Новокузнецкий филиал

Методическая разработка теоретического занятия

Дисциплины «Математика»

Раздел I. Связь математики с медициной

Для специальности 34.02.01 Сестринское дело

Занятие № 4

Раздел 2. Математический анализ. Тема 2.2. Дифференциальное исчисление

Составлена преподавателем

Шилепиной Н. И.

2018

Рассмотрен на заседании МОП

гуманитарных и социально – экономических дисциплин

Протокол № _________________________

от __________________________________

Председатель

________________________ Е. В. Златкус

Утвержден на методическом совете

Протокол № _________________________

от __________________________________

Председатель

______________________ Н.Б. Красина

Составитель: Н. И. Шилепина, преподаватель математики

Обучающая цель:

Студент должен знать: основы интегрального и дифференциального исчисления.

Студент должен уметь: решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

 Развивающая цель:

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать и осуществлять повышение квалификации.

Воспитательная цель:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 9. Ориентироваться в условиях смены технологий в профессиональной деятельности.

Тип занятия: изучения нового материала

Вид занятия: теоритическое

Оснащение занятия:

• технические средства ноутбук, проектор;

• наглядные средства слайд – презентация

Литература:

Основная литература:

1. Омельченко, В. П. Математика: компьютерные технологии в медицине [Текст]: учебн. для студентов / В. П. Омельченко, А. А. Демидова. – Ростов н/Д. : Феникс, 2012. – 588 с.

Дополнительная литература:

1. Пехлецкий И. Д. Математика. – М. : Мастерство, 2001. – 367 с.

2. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика. – М. : Высшая школа, 1991. – 480 с.

3. Баврин И. И. Высшая математика : учебник для студентов. – М. : Высшая школа, 2000. – 544 с.

Структура занятия

1. Организационный момент

2. Постановка целей и задач занятия

3. Мотивация

4. Изложение нового материала

5. Закрепление нового материала

6. Подведение итогов занятия

7. Домашнее задание

Ход занятия

Приложение 1

Тема: « Дифференциальное исчисление»

Понятие производной функции.

Пусть x₁ и x₂ – значения аргумента, а и - соответствующие значения функции . Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке .

Определение 1. Производной функции в данной точке x называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю, т.е.

Производную обозначают символами , или

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».

Если функция имеет производную в точке , то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Определение производной дает способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной:

1. Находят новое значение функции, подставив в данную функцию вместо x новое значение аргумента :

.

1. Определяют приращение функции, вычитая данное значение функции из ее нового значения:

1. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента:

1. Переходят к пределу при и находят производную:

Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведенная от данной функции по указанному правилу.

Пример 1. Найти производную функции

Решение:

Следовательно,

Пример 2. Найти производную функции

Решение:

Значит,

Чтобы вычислить частное значение производной, нужно в общее выражение производной вместо x подставить его числовое значение т.е. вычислить значение

Пример 3. Найти производную функции в точке

Решение: Сначала найдем производную данной функции в общем виде, т.е. в произвольной точке x:

2. 

3. 

5. Подставив теперь в равенство значение получим

1. Физический и геометрический смысл производной.

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном.

Исходя из определения производной, можно сказать:

• мгновенная скорость прямолинейного движения есть производная от пути S по времени t: ;

• мгновенная скорость химической реакции есть производная от функции X по аргументу t: .

Таким образом, можно сделать вывод: производная функции по аргументу x есть мгновенная скорость изменения функции . В этом состоит физический смысл производной.

Геометрическую интерпретацию производной впервые дал Г.В. Лейбниц в конце XVII в.

Рассмотрим график функции f(x) и построим на этом графике произвольным образом точку М. В данной точке М проведем касательную к графику функции f(x). Угловой коэффициент касательной .

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом состоит геометрический смысл производной.

Таблица производных

Правила дифференцирования

При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. В этой статье мы рассмотрим основные правила дифференцирования, которые будем постоянно использовать при нахождении производных. Все эти правила докажем на основе определения производной функции и обязательно остановимся на подробном решении примеров, чтобы понять принцип их применения.

При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x)дифференцируемыми на некотором промежутке X.

То есть, для любого  справедливо , где  - приращения соответствующих функций.

В другой записи .

К основным правилам дифференцирования относят:

• вынесение постоянного множителя за знак производной

• производная суммы, производная разности

• производная произведения функций

• производная частного двух функций (производная дроби)

Докажем формулу . По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

На этом доказательство первого правила дифференцирования завершено.

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

Из таблицы производных для тригонометрических функций видим . Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак производной:

Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

По свойствам логарифмической функции можно перейти к записи . Осталось вспомнить производную логарифмической функции и вынести постоянный множитель:

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

Преобразуем исходную функцию .

Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных .

1. Производная суммы или разности двух  дифференцируемых функций равна сумме или разности производных этих функций

мер.

Найти производную функции .

Решение.

Упростим вид исходной функции .

Используем правило производной суммы (разности): 

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

окажем правило дифференцирования произведения двух функций .

Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что  и  (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).

Что и требовалось доказать.

Пример.

Продифференцировать функцию .

Решение.

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

В этом примере . Следовательно,

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой.

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.

По определению производной

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

Производная сложной функции

Пусть задана сложная функция , тогда производная этой сложной функции находится по правилу:

иначе говоря, производная сложной функции берется по «правилу цепочки», то есть, сначала находится производная внешней функции, аргумент при этом не изменяется, а затем находится производная от её аргумента. Если же и он является сложной функцией, то процесс снова повторяется, пока не найдется производная от последнего независимого аргумента.

Приложение 2