Методическое пособие для подготовки к экзамену по дисциплине Радиотехнические цепи и сигналы

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ»

1. Приведите формулы прямого и обратного преобразования Фурье. При каких условиях можно пользоваться формулой прямого преобразования Фурье?

Прямое:

∞

F ( s ( t )) = Ṡ ( ω ) = ∫ s ( t )· e - jωt dt

-∞

Обратное:

∞

F - 1 ( Ṡ ( ω )) = s ( t ) = 1/2 π ∫ Ṡ ( ω )· e jωt dω

-∞

Сигнал s(t) должен удовлетворять условиям Дирихле:

• не имеет разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);
• имеет конечное число разрывов 1-го рода;
• имеет конечное число экстремумов;
• требование абсолютной интегрируемости сигнала:

∞

∫ | s ( t ) | dt

-∞

2. Какой физический смысл имеют модуль и аргумент спектральной функции непериодического сигнала?

Спектральную функцию можно представить в показательной форме:

Ṡ ( ω ) = | Ṡ ( ω )| exp( jφ ( ω ))

∞

s ( t ) = 1/2 π ∫ | Ṡ ( ω )| · e jφ ( ω ) ·e jφt dω

-∞

Физический смысл спектральной функции:

Сигнал s ( t ) представляется в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами | Ṡ ( ω )| , непрерывно заполняющих интервал частот от 0 до ∞; начальные фазы этих составляющих заданы функцией φ ( ω ) , а частотная зависимость “плотности” бесконечно малых амплитуд описывается функцией | Ṡ ( ω )| .

3. Как выражается связь между спектральной функцией одиночного импульса Ṡ ( ω ) и комплексной амплитудой Ċ n ряда Фурье,

описывающего периодическую последовательность,

составленную из таких импульсов?

Выражение для коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме:

Ċ k = 1/ T ∫ s ( t )· e -jkω 1 t dt

Формула прямого преобразования Фурье или спектральная функция представительного импульса периодической последовательности s ( t ):

∞

Ṡ ( ω ) = ∫ s ( t )· e -jkω 1 t dt

-∞

Сравнивая эти формулы, получаем:

Ċ k = 1/ T · Ṡ ( kω 1 )

4. Как изменится спектральная функция Ṡ ( ω ) при умножении сигнала S( t ) на cos ω 0 t ?

Умножение видеоимпульса на гармоническую функцию cos ω 0 t в спектральной области приводит к смещению спектра видеоимпульса влево и вправо на величину ± ω 0 .

5. Как изменится амплитудный и фазовый спектры сигнала при его запаздывании?

Пусть сигналу s ( t ) соответствует спектральная функция Ṡ ( ω ) . Найдем преобразование Фурье сдвинутого во времени сигнала, s ( t ± t 0 ):

∞ ∞

∫ s ( t ± t 0 ) ·e – jωt dt = e ± jωt 0 ∫ s ( t ± t 0 ) ·e – jω ( t ± t 0 ) d ( t ± t 0 ) = Ṡ ( ω )· e ± jωt 0 = | Ṡ ( ω )| ·e j ( φ ( ω ) ± ωt 0 )

-∞ -∞

При сдвиге сигнала на временной интервал ± t 0 амплитудный спектр сигнала не изменится, в фазовом спектре сигнала появляется дополнительная компонента

± ωt 0 .

Множитель exp jωt 0 называют оператором задержки сигнала.

6. Как выражается спектральная функция произведения двух функций, если известны спектральные плотности сомножителей?

Пусть f ( t ) и g ( t ) – сигналы со спектральными функциями Ḟ ( ω ) и Ġ ( ω ) соответственно. Тогда сигналу s ( t ) = f ( t )∙ g ( t ) соответствует спектральная функция

∞ ∞ ∞

Ṡ ( ω ) ∫ ƒ ( t ) · g ( t ) ·e - jkωt d ( t ) = 1/2 π ∫ g ( t ) ·e – jωt ∫ Ḟ ( λ ) · e jλt d λdt =

∞ ∞ ∞

= 1/2 π ∫ Ḟ ( λ ) ∫ g ( t ) ·e – j ( ω – λ ) t dt d λ = 1/2 π ∫ Ḟ ( λ ) · Ġ ( ω – λ ) d λ

Спектральная функция произведения сигналов есть свертка их спектральных функций (с коэффициентом 1/2 π )

Сверткой функций f ( t ) и g ( t ) называют интеграл вида:

∞

( t ) = ∫ f ( λ ) · g ( t – λ ) d λ

-∞

Спектральная функция свертки сигналов есть произведение их спектральных функций:

Ṡ ( ω ) = Ġ ( ω ) · Ḟ ( ω )

-∞

-∞

-∞

-∞

-∞

-∞

7. Зависит ли форма корреляционной функции (КФ) детерминированного сигнала от фазового спектра

этого сигнала?

B ( τ ), как и W ( ω ) = | Ṡ ( ω )| 2 , не зависят от фазовой спектральной функции сигнала s ( t ). Но форма сигнала s ( t ) при заданной спектральной функции амплитуд | Ṡ ( ω )| существенно зависит от фазового спектра φ ( ω ); поэтому можно утверждать, что различные по форме, но обладающие одинаковыми амплитудными спектрами сигналы имеют одинаковые КФ.

8. В чем состоит особенность корреляционной функции

периодического сигнала?

КФ непрерывного и периодического сигнала определяют по формуле:

T /2

B ( τ ) = lim ∫ s ( t ) · s ( t − τ ) dt

T →∞ - T /2

КФ периодического сигнала сама является периодической функцией и имеет размерность мощности. Значения аргумента τ , для которых B ( τ ) = 0, определяют временные сдвиги сигнала и его копии, при которых корреляция отсутствует. Значение B (0) периодического сигнала численно равно мощности сигнала.

9. Дайте определение и перечислите основные свойства корреляционной функции детерминированного сигнала. Как она связана со спектром сигнала?

Корреляционная функция детерминированного сигнала с ограниченной энергией s ( t ) определяется выражением:

∞

B ( τ ) = ∫ s ( t ) · s ( t − τ ) dt , где τ – временной сдвиг копии сигнала s ( t ).

- ∞

∞

Свойства: B (0) = ∫ s 2 ( t ) dt = E ,

-∞

т.е. при τ = 0 значение КФ численно равно полной удельной энергии сигнала.

B (0) ≥ B ( τ ), т.е. КФ имеет максимум при τ = 0.

∞ ∞

B (- τ ) = ∫ s ( t ) · s ( t + τ ) dt = ∫ s ( t ) · s ( t – τ ) dt = B ( τ ), т.е. КФ является четной функцией.

-∞ -∞

lim B ( τ ) = 0

T →±∞

Соотношения, связывающие КФ сигнала с его энергетическим спектром:

B ( τ ) = ∫ W (ω) e jωτ dω

10. Как определяется мгновенная мощность, энергия и средняя мощность сигнала s(t) на интервале времени [t 1 , t 2 ]?

Мгновенная удельная мощность сигнала:

P( t ) = u 2 ( t ) = i 2 ( t ) = s 2 ( t )

Удельная энергия:

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

E = ∫ s 2 ( t ) dt = 1/2 π ∫ Ṡ ( ω ) ·Ṡ * ( ω ) dω = 1/2 π ∫ | Ṡ ( ω )| 2 dω = 1/2 π ∫ W ( ω ) dω = 1/ π ∫ W ( ω ) dω

Квадрат модуля спектрально функции Ṡ ( ω ) ·Ṡ * = | Ṡ ( ω )| 2 = W ( ω ) называют энергетическим спектром сигнала s ( t ).

Средняя удельная мощность:

T T /2

P = lim 1/ T ∫ s 2 ( t ) dt или P = lim 1/ T ∫ s 2 ( t ) dt

T →∞ 0 T →∞ - T /2

где T – произвольный временной интервал.

Для периодических сигналов, энергия которых бесконечно велика по определению, усреднение удобно проводить по периоду T:

T

P = 1/ T ∫ s 2 ( t ) dt

0

-∞

-∞

-∞

-∞

-∞

11. В чем заключается фильтрующее свойство δ -функции?

∞

∫ ƒ( t )· δ ( t − t 0 ) dt = ƒ( t 0 ) ∫ δ ( t − t 0 ) dt = ƒ( t 0 )

-∞

т.е. определенный интеграл, подынтегральная функция которого содержит в качестве сомножителя δ − функцию, равен значению этой функции с аргументом, при котором δ − функция не равна нулю.

12. Какой вид имеет векторная диаграмма АМ колебания при гармонической модуляции?

13. Как определяется спектр АМ колебаний при модуляции:

гармоническим колебанием

и произвольным периодическим сигналом?

Простейшей моделью АМ-сигнала является колебание с гармоническим модулирующим сигналом:

U ( t ) = U 0 + Δ U · cos(Ω t + φ Ω0 ),

где - φ Ω0 начальная фаза сигнала модуляции, Δ U = const .

В этом случае:

u ( t ) = ( U 0 + Δ U · cos(Ω t + φ Ω0 )) · cos( ω 0 t + φ 0 ) = U 0 (1 + m cos(Ω t + φ Ω0 )) · cos( ω 0 t + φ 0 ) =

= U 0 cos( ω 0 t + φ 0 ) + mU 0 /2 · cos(( ω 0 + Ω) t + φ 0 + φ Ω0 ) + mU 0 /2 · cos(( ω 0 − Ω) t + φ 0 − φ Ω0 ),

где − m = Δ U / U 0 коэффициент амплитудной модуляции, 0 ≤ m ≤ 1 .

Эта формула определяет модель и спектральный состав АМ – сигнала с гармонической модуляцией. Принято называть ω 0 несущей, ω 0 + Ω - верхней боковой, ω 0 − Ω − нижней боковой частотами.

14. Запишите общее выражение для колебаний с угловой модуляцией. Какими соотношениями связаны полная фаза

и мгновенная частота колебаний?

Модель радиосигнала с угловой модуляцией:

S УМ ( t ) = u ( t ) = U · cos( ω 0 t + φ ( t ) + φ 0 ) = U· cos ψ ( t )

В гармоническом сигнале частота ω 0 есть не что иное, как скорость изменения полной фазы. Распространяя это определение на произвольный радиосигнал, вводят понятие мгновенной частоты, как производной полной фазы:

Ω 0 t = d / dt·ψ ( t ) = ω 0 + d / dt·φ ( t )

тогда полную фазу, как аргумент тригонометрической функции в модели радиосигнала можно определить как:

ψ ( t ) = ∫ ω ( t ) dt = ω 0 ( t ) + φ ( t ) + φ 0

Полная фаза произвольного радиосигнала содержит линейную часть ω 0 ( t ) (линейный набег фазы за время t), фазовую функцию φ ( t ) и φ 0 = const , которая при

φ ( t ) = 0 называется начальной фазой.

15. Как определяются и чем отличаются ЧМ и ФМ колебания?

Пусть информационный (модулирующий) сигнал есть s ( t ), или, с точностью до постоянного множителя, ks ( t ). Тогда, положив φ 0 = 0 , получим для полной фазы выражение ψ ( t ) = ω 0 t + ks ( t ) , а для сигнала с фазовой модуляцией:

u ФМ ( t ) = U cos( ω 0 t + ks ( t ))

Пусть мгновенная частота ω ( t ) = ω 0 + Δ ω ( t ), где Δ ω ( t ) = ks ( t ) ; тогда при частотной модуляции полная фаза:

ψ ( t ) = ∫ ω ( t ) dt = ω 0 ( t ) + k ∫ s ( t ) dt

Сигнал с ЧМ записывается так:

u ЧМ ( t ) = U cos( ω 0 t + k ∫ s ( t ) dt )

Легко заметить, что частотная и фазовая модуляции тесно связаны, а именно, если модулирующая функция представлена, как ks ( t ), то ЧМ при

Δ ω ( t ) = ks ( t ) = dφ ( t )/ dt соответствует ФМ по закону φ ( t ) = k ∫ s ( t ) dt ;

ФМ при φ ( t ) = k s ( t ) соответствует ЧМ по закону Δ ω ( t ) = k ·ds ( t ) / dt

16. Какой физический смысл имеют понятия “девиация частоты” ω Д, ”индекс модуляции” β?

Как они определяются при гармонической

фазовой и частотной модуляции?

Установленная связь ФМ и ЧМ особенно очевидна при выборе гармонического модулирующего сигнала s ( t ) = cosΩ t .

ФМ – сигнал можно тогда записать как

u ФМ ( t ) = U cos( ω 0 t + Δ φ cosΩ t ) , где Δ φ − девиация фазы.

Для ЧМ – сигнала ω ( t ) = ω 0 + Δ ω cosΩ t с полной фазой:

Ψ ( t ) = ω 0 t + k∫s ( t ) dt = ω 0 t + Δ ω / Ω · sinΩ t + φ 0 , где Δ ω – девиация частоты

ЧМ – сигнал можно записать как:

u ЧМ ( t ) = U cos( ω 0 t + Δ ω / Ω · sinΩ t + φ 0 )

Введем индекс гармонической угловой модуляции β , под которым при частотной модуляции будем подразумевать отношение Δ ω / Ω , а при фазовой – девиацию фазы Δ φ , тогда анализируемый сигнал можно представить в виде:

u УМ ( t ) = U · cos( ω 0 t + β · sinΩ t )

1? При β 1 эффективная ширина спектра сигнала с гармонической УМ равняется удвоенной девиации частоты: Δ ω эфУМ ≈ 2 β Ω = 2Δ ω / Ω · Ω = 2Δ ω При β Δ ω эфУМ ≈ 2Ω 18. Что такое амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала? ∞ s r ( t ) = α 0 / 2 + ∑ Ċ k ·e jω k t , k ≠ 0 k= −∞ Это представление называют комплексной формой ряда Фурье. Коэффициенты ряда Ċ k образуют дискретный комплексный спектр периодического сигнала s r ( t ) , определенный на всех частотах k = 0, ±1, ±2,… вместе с амплитудным | Ċ k | и фазовым φ k = arg Ċ k спектрами. " width="640"

17. По каким приближенным формулам можно определить ширину спектра колебания с гармонической угловой модуляцией

в случае β β 1?

При β 1 эффективная ширина спектра сигнала с гармонической УМ равняется удвоенной девиации частоты:

Δ ω эфУМ ≈ 2 β Ω = 2Δ ω / Ω · Ω = 2Δ ω

При β

Δ ω эфУМ ≈ 2Ω

18. Что такое амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала?

∞

s r ( t ) = α 0 / 2 + ∑ Ċ k ·e jω k t , k ≠ 0

k= −∞

Это представление называют комплексной формой ряда Фурье.

Коэффициенты ряда Ċ k образуют дискретный комплексный спектр периодического сигнала s r ( t ) , определенный на всех частотах k = 0, ±1, ±2,… вместе с амплитудным | Ċ k | и фазовым φ k = arg Ċ k спектрами.

19. Чем отличаются спектральные и векторные диаграммы АМ и ЧМ колебаний при малой глубине модуляции?

Векторная диаграмма радиосигнала с гармонической УМ при малом индексе модуляции:

Структуры амплитудных спектральных характеристик радиосигналов с гармонической угловой при β

20. Чем отличаются вещественная и комплексная формы ряда Фурье?

В чем заключается целесообразность введения последней?

Вещественная форма ряда Фурье:

∞

s r ( t ) = α 0 / 2 + ∑ A k cos( kω 1 t + φ k ), где ω k = kω 1 = 2 π · k / T = 2 π · k ƒ 1

k= 1

Комплексная форма ряда Фурье:

∞

s r ( t ) = α 0 / 2 + ∑ Ċ k ·e jω k t , k ≠ 0

k= −∞

Целесообразность введения комплексной формы ряда Фурье обусловлена удобством выполнения математических преобразований.

21. Какие сигналы называются случайными? Что является наиболее полной характеристикой случайного сигнала?

Можно ли считать реализацию случайного

процесса случайным сигналом?

Случайный процесс (сигнал) X ( t ) – это функция особого вида, характеризующаяся тем, что значения, принимаемые ею в любой момент времени t , являются случайными величинами.

До регистрации (до приема) случайный сигнал следует рассматривать именно как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени x i ( t ), подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.

Для анализа свойств и характеристик случайного процесса, а также для различных его преобразований, необходимо задать математическую модель случайного процесса.

Полное описание случайного процесса дает его ансамбль реализаций.

22. Что такое спектральная плотность мощности случайного процесса? Какова ее размерность?

Сформулируйте теорему Винера-Хинчина.

Спектральная плотность мощности:

W ( ω ) = lim|Ẋ Т ( ω )| 2 / T∙dω

T →∞

Теорема: Корреляционная функция случайного процесса и его спектральная плотность мощности связаны друг с другом преобразованием Фурье:

∞

R ( τ ) = 1 / 2 π∙∫W ( ω ) e jωτ dω

-∞

23. Что такое “белый шум”? Каковы его дисперсия и функция корреляции?

Осуществим ли реально сигнал такого вида?

В радиотехнике белым шумом называют стационарный случайный процесс, спектральная плотность мощности которого постоянна на всех частотах:

W ( ω ) = W 0 = const

Согласно теореме Винера-Хинчина корреляционная функция белого шума представляет собой дельта функцию:

∞

R ( τ ) = W 0 / 2 π∙∫ e jωτ dω = W 0 δ ( τ )

-∞

т.е. равна нулю всюду, кроме точки τ = 0. Дисперсия белого шума бесконечно велика.

Белый шум является абстрактной математической моделью и физически существовать не может. Это объясняется прежде всего бесконечностью его дисперсии (т.е. средней мощности). Однако в тех случаях, когда полоса пропускания исследуемой цепи существенно уже эффективной ширины спектра шума, который на нее воздействует, можно для упрощения анализа приближенно заменить реальный случайный процесс белым шумом.

24. Каковы основные характеристики линейной цепи во временной и спектральной областях? Как они связаны между собой?

Импульсная характеристика:

– реакция цепи на элементарный входной импульс – дельта функцию h ( t ).

Переходная характеристика:

– реакция цепи на воздействие в виде единичного скачка g ( t ).

t

h ( t ) = dg ( t ) / dt , g ( t ) = ∫ h ( t ) dt

-∞

Комплексный коэффициент передачи:

– преобразование Фурье импульсной характеристики цепи.

∞

Ḱ ( ω ) = ∫ h ( t ) e -jωt dt

-∞

25. Что такое интервал корреляции случайного процесса?

Как он вычисляется? В какой связи он находится

с эффективной шириной спектра?

Количественной характеристикой, служащей для оценки “скорости изменения” реализаций случайного процесса, является интервал корреляции τ k , определяемый как

∞ ∞

τ k = 1 / R (0) ∙ ∫| R ( τ )| dτ = ∫ | r ( τ )| dτ

-∞ -∞

Величины τ k и ∆ ω эф связаны соотношением неопределенности:

∆ ω эф ∙ τ k ~ 2 π

26. Запишите выражение для входного сопротивления последовательного колебательного контура. Изобразите его АЧХ и ФЧХ.

Ż ( ω ) ≈ r (1 + j 2 Q Ɛ )

27. Изобразите частотные характеристики простейших RC-фильтров нижних и верхних частот.

Фильтр нижних частот:

Фильтр верхних частот:

28. Запишите выражения для комплексного коэффициента

передачи линейной цепи с обратной связью

и дайте определения видам обратной связи.

Ќ ( ω ) = K ( ω ) /1− K ( ω ) β ( ω )

Положительная обратная связь.

Отрицательная обратная связь.

Реактивная и комплексная обратная связь.

29. Какие характеристики усилителя улучшаются при использовании в нем отрицательной обратной связи?

Стабильность коэффициента передачи.

Коррекция частотной характеристики.

Уменьшение искажений.