Научно-исследовательская работа "Оптимизация задач гражданского строительства, транспорта, экономики"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №2

Оптимизация задач гражданского строительства, транспорта, экономики.

Ученица: Куркина А.М.
Учитель: Кадырева С.А.

г. Кузнецк, 2019г.

Содержание:

1. Введение.1

2. Общая задача линейного программирования.

3. Примеры задач:
   3.1. Задача №1.
   3.2. Задача №2.
   3.3. Задача №3.

4. Заключение.
   Литература.

Введение.

 П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.  Итак, большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Это и определило актуальность выбора темы моего доклада.  Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию.

Актуальность темы -  эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. С помощью таких задач можно ответить на вопрос: как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.

Гипотеза исследования - общего способа решения экономических задач быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать эти задачи.

 Цели  исследовательской работы:

- изучить разнообразные способы и методы  решения экономических задач  

-исследовать вопросы применения этих задач в жизни человека

- повысить  уровень математической культуры, прививая себе  навыки  самостоятельной исследовательской работы в математике

-подготовка к итоговой аттестации ОГЭ и ГИА

План работы:

1. Введение.

2. Исследование вопроса экономного расходования материалов для строительства двускатной и четырёхскатной крыш.

3. Другие задачи гражданского строительства.

4. Почему меняют покрышки на автотранспорте?

5. Оптимизация в хозяйственной деятельности.

Методы исследования:

1. Постановка проблемы.

2. Сбор фактического материала.

3. Систематизация и анализ полученного материала.

4. Доказательство истинности гипотез.

Практическое использование работы:

1. При проектировании и строительстве крыш домов.

2. Шиномонтаж грузовых автомобилей.

3. Мебельное производство.
   
   
   

Задачи об экономном расходовании материалов.

А) У грузового автомобиля передние покрышки стираются через 15000 км пути, а задние через 25000 км (на задних колёсах по две покрышки, а на передних – по одной такой же покрышке). Как нужно менять покрышки на колёсах, чтобы проехать на одних и тех же покрышках наибольшее расстояние? Найдите это расстояние.

Примем за единицу количество резины, которое может стереться на одной покрышке, пока она не придёт в негодность. Тогда всего перед поездкой имеется 6 единиц резины. Из условия следует, что за 1 км пути стирается единицы, если покрышка стоит впереди, и , если она стоит сзади. Значит, за 1 км пути стирается единиц резины. Пусть машина проехала Х км. Тогда стерлось единиц резины. Так как может стереться не больше 6 единиц, имеем , откуда Х= 20454 .

Наибольшее расстояние равно 20454 км. Покрышки нужно менять так, чтобы одну треть пути каждая из них была передней: тогда все они сотрутся одновременно – к концу пути.

Б) Из куска стекла нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

А

С D

Е

80 Х У 60

100

Площадь пластины . За независимую переменную примем Х ( ). Тогда из подобия треугольников АВЕ И СDЕ следует: , или ,откуда . Поэтому . Исследуем эту функцию на экстремум. Найденное значение Х выходит из промежутка изменения Х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х=100 (мм), а тогда у=60 (мм) и S=6000 ( ).

В) Мастерская изготовляет серию однотипных изделий. Для каждого изделия заготавливается набор досок. В каждый такой набор должны войти 7 досок длиной в 1 м и 2 доски длиной 2 м. В мастерскую поступила партия из 200 досок длиной 3,1 м, которые намерены использовать для изготовления таких комплектов. Как распилить все доски, чтобы получить, возможно, большее число комплектов?

Из каждой полученной доски (длиной 3,1м) можно получить доски требуемых размеров двумя способами:

1. Разрезать её на две доски: одну длиной 1 м и одну длиной 2м.

2. Разрезать её на три доски длиной 1м.
   
   

Обозначим через х и у число досок, распиленных соответственно способами 1 и 2. Число образовавшихся комплектов обозначим z. Всего при распиловке было получено х двухметровых досок и х+3у метровых. Поэтому

1. ,
   
   

2. ,

1. Кроме того, , и, понятно,

Требуется найти максимум функции

Исключим одну из трех переменных, например, у. Так как , то условия (1) – (4) приобретают вид:

Множество точек (x; z) удовлетворяющих условию (6), есть
треугольник OAB, изображенный на рисунке




Из точек этого множества наибольшую ординату Z имеет точка В. Чтобы найти эту ординату, решим систему:
Но так как z - по смыслу задачи число целое, то следует полагать z=54. Это и будет наибольшее число комплектов, которые можно заготовить из данных досок. Для них потребуется 108 двухметровых досок, и, следовательно, 108 досок придется распилить первым способом. Распилив ещё остальные 92 доски вторым способом, получим достаточное для всех комплектов число метровых досок. Однако на самом деле достаточно из этих 92 досок распилить меньшее число. Действительно, для 54 комплектов требуется 378 метровых досок, из них 108 получены ранее. Чтобы получить остальные 270 метровых досок, достаточно распилить (вторым способом) лишь 90 досок.

«В мире не происходит ничего, в чем бы не был смысл какого-нибудь максимума или минимума»

Л. Эйлер

Г) Из прямоугольного листа железа, ширина которого а мм, делают желоб прямоугольного сечения. С этой целью по краям листа отгибают полосы. Какой ширины должны быть эти полосы, чтобы получился желоб с наибольшей пропускной способностью?

Эта задача приводит к функции, выражающей площадь поперечного сечения желоба S=(a-2x)x, или S=-2x²+ax, где x-ширина каждой из отгибаемых по краям листа полос. Чтобы найти экстремум (наибольшее значение) этой функции, преобразуем ее, выделив полный квадрат:

-2х²⁺ах=-2(х² – х )= -2(х²-2х + - )= -2( (х- )² - )= -2(х- )²

В получившейся разности уменьшаемое постоянно, а вычитаемое 2(х- )² зависит от х. Как известно,при постоянном уменьшаемом разнолсть будет наибольшей при наименьшем возможном значении вычитаемого. Но в нашем случае вычитаемое 2(х- )² неотрицательно и наименьшее значение его равно 0 при х- =0. Значит, рассматриваемая квадратная функция имеет наибольшее значение при х= и оно равно .

ЗАДАЧА.

Заготовлен материал для изгороди длиной L метров. Необходимо этой изгородью загородить прямоугольную площадку, имеющую наибольшую площадь. Какими должны быть размеры этой площадки?

Эта задача приводит к функции, выражающей площадь прямоугольника с периметром L. Пусть ширина прямоугольника Х метров, тогда длина его должна быть равна значит площадь:

Итак, нам надо найти Х, при котором функция принимает наибольшее значение. Поступим так: преобразуем функцию, выделив из неё полный квадрат:

Получившая разность будет наибольшей при наименьшем значении вычитаемого, которое равно 0 при . Следовательно, рассматриваемая функция принимает наибольшее значение при . Итак, площадка с периметром L будет иметь наибольшую площадь, если ширина и длина её равны , то есть когда она будет квадратной.

Заключение.

  В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

  Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.  Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение данных экстремальных задач способствовало углублению и обогащению моих математических знаний. Думаю, что эти выводы помогут мне в дальнейшей взрослой жизни, а также определят выбор будущей профессии.

Литература:

1. «Заочные математические олимпиады». Издательство «НАУКА». Главная редакция физико-математической литературы 1981; с изменениями, 1986.
   Н.Б. Василев, В.Л Гутенмахер, Ж.М. Раббот, А.Л. Тоом.

2. «Рассказы о максимумах и минимумах».
   Издательство «НАУКА». Главная редакция физико-математической литературы, 1986г.
   В.М. Тихомиров.

3. «Экстремумы».
   Издательство «Просвещение»
   Москва-1966г.
   Ф.Ф. Нагибин.

«Математика после уроков».
Издательство «Просвещение» Москва 1971г.
М.Б. Балк, Г.Д. Балк.