Образец решения и оформления заданий зачётной работы по дисциплине "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия"

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ СО «Исовский геологоразведочный техникум»

«Подготовка к экзаменам студентов первого курса»

Образец решения и оформления решений заданий.

Задание 1 (2 балла)

Исследовать и решить систему уравнений методом Крамера.

преобразуем систему к стандартному виду

решаем методом Крамера

1. Составляем главный определитель системы

= 15 + 8 = , т.к. , то система имеет единственное решение, которое находим по формулам: ;

1. Составляем вспомогательные определители по х и по у:

= 40 + 8 = и

= 12 32 =

Находим х и у по формулам: ;

Ответ: Система имеет единственное решение .

Задание 2 (6 баллов)

Решите уравнение и неравенство:

Для всех вариантов, а = n, b = n + 1, c = n + 2, где n – номер вашего варианта

Решаем для Варианта № 41, т.е.

2.1. Решить логарифмическое уравнение:

(3 балла)

Приводим уравнение к виду ,

где ОДЗ (область допустимых значений уравнения)

→→

→ → → →

Вывод: Найденное значение х=84 удовлетворяет ОДЗ. Ответ:

2.2. Решить показательное неравенство:

(3 балла)

Для 41 варианта .

, В левой части неравенства вынесем за скобки 42 в наименьшей степени, т.е.

При этом, каждое слагаемое делим на вынесенный множитель.

Рассчитываем показатели, которые при делении степеней с одинаковыми основаниями, вычитаются.

( т.к. , то

( разделим обе части неравенства на положительное число , от этого знак неравенства не изменится.

[ (] / ,

Получим , т.к. 42, то показательная ф-ция возрастает (), знак неравенства не меняется при переходе к неравенству показателей степеней.

→ / :41 → →

х

Ответ: х ()

Задание 3 (4 баллов)

Решите тригонометрические уравнения:

3.1. (2 балла); 3.2. . (2 балла).

Для Варианта № 41 a = 41; b = 42; с = 43.

Решение: Составим уравнения для нашего варианта.

Задание 4 (10 баллов)

Исследуйте функцию, используя функцию, её первую и вторую производные. Постройте график этой функции.

, где - № варианта

Составим функцию для 41 варианта. .

Исследуем ф-цию по плану.

1. По функции: п/п 1;2;и 5;6 – корни знак ф-ции.

п.1 – О.О.Ф. – х ()… п.2 – М.З.Ф. – у …

п/п 5.6. Ф-цию приравнять к нулю, f(x) = 0, найти корни – x₁,x_2, x₃; расположить их в порядке возрастания на числовой оси; (числ. ось разбилась на интервалы). Определить знак функции в каждом полученном интервале.

выносим за скобки

каждый множитель приравниваем к нулю

или

x₁=x₂=0 или х₃=6

! + Знак f(x)

^{0 6} х

Определим знак ф-ции в каждом интервале.

2. По производной первого порядка: п/п 7;8 – монотонность, экстремумы ф-ции.

Найдём производную первого порядка

y′ = ()′ = = f′(x)

Приравняем производную к нулю f′(x) = 0, = 0 найдём корни

=0, каждый множитель приравниваем к нулю.

или → Получили

x₄ = 0, или x₅ =4 (стационарные точки 1-го рода);

Расположим точки в порядке возрастания на числовой оси; (числ. ось разбилась на интервалы).

+ ^{Знак f′(x)} х

_{0 4} ^{Поведение ф-ции}

Определить знак производной в каждом полученном интервале:

- где y′, там y = f(x) возрастает

- где y′, там y = f(x) убывает

- в стационарной точке, в которой знак производной меняется с на , функция имеет максимум y_max = f(0)== 0, M₁(0; 0) точка максимума

- в стационарной точке, в которой знак производной меняется с на , функция имеет минимум, y_min = f(4) = = , =

; M₂(4;) точка минимума

3. По производной второго порядка:

п/п 9;10 – выпуклость кривой и точки перегиба.

Найти производную второго порядка y′′ = ′′=

= ()′ = f′′(x)

Приравняем производную к нулю f′′(x) = 0, ;

найдём корни (стационарные точки второго рода)

; x₆=2; Расположим точки в порядке возрастания на числовой оси;

(числ. ось разбилась на интервалы).

+ ^{Знак f′′ (x)}

² х^{Поведение ф-ции}

1. Определить знак производной в каждом полученном интервале:

- там, где y′, там y = f(x) вогнута,

- там, где y′, там y = f(x) выпукла,

-.в стационарной точке, в которой знак второй производной меняется, функция имеет перегиб

у_{перегиба} = f(2)= f(4) = = =

; M₃(2;); точка перегиба;

4. Построим график функции по проведённому исследованию.

Задание 5 (8 баллов)

Решите задачи:

Для всех вариантов: n – номер вашего варианта: а = n Н = n + 5

5.1. В правильной треугольной призме сторона основания равна 2а, высота равна Н. Найдите полную поверхность и объем этой призмы. (3 балла)

5.2. Найдите полную поверхность и объём конуса, если диметр основания равен 2а, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60^о. (5 баллов)

Задание 9 (5 баллов)

Решите задачу

Дано. АВС – треугольник.

Найдите: 1. координаты всех векторов; 2. периметр треугольника АВС

1. косинус всех углов треугольника; 4. координаты середин всех сторон треугольника;

1. координаты центра тяжести треугольника АВС.

Решение: Построим АВС в системе координат по точкам А(2;-3), В(4;3), С(0;-1).

Найдём координаты всех векторов по формуле:

(х_В - х_А; у_В - у_А) = (4-2; 3-(-3)).получили

(2; 6), (-2; -6)

(-4; -4) (4; 4)

(-2; 2) (2; -2)

1. Периметр ∆ АВС – есть сумма длин сторон этого треугольника. По формуле ; получаем = = Аналогично

= = 5,65; = = 2,84

Р_∆ABC = + + = + 5,65 + 2,84 = 14,82 (ед.)

2. находится между векторами ВА и ВС; найдём скалярное произведение по формуле = ; = (-2) (-4) + (-6) (-4) = 32;

находится между векторами АВ и АС; аналогично, найдём скалярное произведение = ; = 2 (-2) + 6 2 = 8;

находится между векторами СА и СВ; скалярное произведение = ; = 2 4 + 4 (-2) = 0; т.к. скалярное произведение равно 0, то , т.е. = 90^о

Найдём значение по формуле = = = 0,89; = 27^о;

Аналогично найдём = = = 0,45; = 63^о;

Проверим истинность результатов: + + = 180^о 63^о + 27^о + 90^о = 180^о;

180^о = 180^о (И)

1. Координаты середин сторон находим по формулам M₃ ;

Координаты середины стороны АВ найдём по формулам M₁;

Середина стороны АВ – М₁ () = (3; 0); М₁ (3; 0)

Середина стороны ВС – М₂ () = (2; 1); М₂ (2; 1);

Середина стороны АС – М₃ = (1; -2); М₃ (1; -2)

5. Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке М₀, которая делит каждую медиану в отношении , считая от вершины. Рассмотрим медиану с удобными для решения координатами её концов. В нашей задаче – это медиана СМ₁ . Точка М₀ делит эту медиану в отношении 2:1, начиная от вершины, т.е. = = 2 поэтому в следующих формулах , С(0;-1), М₁ (3; 0)

M₀ = = =

Если выбрана другая медиана, то формулы выглядят так:

Для медианы АМ₂ M₀, где , А(2;-3), М₂ (2; 1);

Для медианы ВМ₃ M₀, где , В(4;3), М₃ (1; -2);

Для всех случаев ответ должен получиться один и тот же: M₀

ОТВЕТ: 1. и. 4. – См. решение; 2. – Р_∆ABC = 14,82 (ед.)

=0,89; = 0,45; = 0; 5. – M₀

Задание 7 (10 баллов)

Вычислите интегралы:

Решение для 41 варианта:

7.1. Вычислите интеграл, применяя формулы и правила интегрирования (по 1 баллу за каждый пример)

а) ; б) ; в)

7.2.Вычислите интеграл, применяя преобразование подынтегральной функции и формулы и правила интегрирования (3 балла)

= =

= =

+ 41()+С = )+С; – Ответ.

7.3. Вычислите интеграл, применяя правило

(по 2 балла за каждый пример)

а) ; б)

а). +С=+С=

+С=+С = + С; Ответ.

б). +С; Ответ.

Задание 6 (5 баллов)

Найдите производные функций

Задание 8 (5 баллов)

Найдите неизвестные элементы треугольника по заданным элементам

Задача для нечётных вариантов. По двум данным элементам прямоугольного треугольника вычислить остальные его элементы и площадь.

Задача для чётных вариантов. По данным – элементам косоугольного треугольника вычислить остальные его элементы и площадь.

КОНЕЦ РАБОТЫ

Данная разработка содержит учебный материал для первого курса профессиональных образовательных организаций по дисциплине "Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия" и предназначена для студентов при подготовке к экзамену по математике.