Презентация 8 класс по вероятности и статистике на тему _Дисперсия и стандартное отклонение числового набора_

Меры разброса

09/18/2024

Дисперсия и стандартное отклонение числового набора

8 класс Вероятность и статистика Урок 6

Отклонение. Дисперсия

Цели:

• учиться применять понятиями отклонение и дисперсия в реальных практических ситуациях;
• учиться использовать статистические характеристики числовых наборов

Вопросы

• Всегда ли средние характеристики числового ряда могут дать точную информацию о нём?

• Что такое отклонение ?

• В каком случае для сравнения числовых наборов можно использовать суммы квадратов отклонений ?

• В каком случае для сравнения числовых наборов предпочтительно вычислить их дисперсии ?

Характеристики числового ряда

• Средние характеристики числового ряда позволяют оценить его поведение в среднем

• Характеристики разброса показывают, насколько сильно значения ряда отличаются друг от друга

Задание 1

На место токаря претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были изготовить одинаковые детали. Результаты рабочих представлены в таблице

Вопрос: кого из рабочих предпочтительнее взять на работу?

Средняя производительность труда за день у обоих рабочих одинаковая:

X =Y = 250 : 5 = 50 (дет./день).

Моды у предложенных совокупностей отсутствуют, а медианы одинаковые (50 и 50).

Зато можно оценить стабильность производительности.

Отклонение

X

52

54

50

48

46

Cреднее арифметическое:

X= (52+54+50+48+46)/5=50

Отклонение – разность между средним значением и числом набора

Набор отклонений :

X - X

-2

-4

0

2

4

Сумма отклонений:

-2-4+0+2+4=0

Сумма отклонений всегда равна 0, поэтому

не может нести информацию о разбросе

Квадраты отклонений

X

52

54

50

48

46

Cреднее арифметическое:

X= (52+54+50+48+46)/5=50

Набор отклонений:

X - X

-2

-4

0

2

4

Набор квадратов отклонений:

(X – X)²

4

16

0

4

16

Сумма квадратов отклонений:

4+16+0+4+16 = 40

Дисперсия

Дан числовой набор:

X

52

54

50

48

46

Набор отклонений:

X - X

-2

-4

0

2

4

Набор квадратов отклонений:

(X – X)²

4

16

0

4

16

Дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонений:

D x = (4+16+0+4+16)/5 = 40/5 = 8

Дисперсия – характеристика разброса, мера стабильности.

Чем больше дисперсия, тем ниже стабильность

= 56,4

D x

= 8

D у

Выводы

При сравнении нескольких числовых наборов

с одинаковым количеством чисел в наборе

в качестве меры сравнения можно взять

суммы квадратов отклонений

При сравнении нескольких числовых наборов

с различным количеством чисел в наборе

в качестве меры сравнения берут дисперсии наборов

Задание 2

Для определения точности ружья проводят их испытания, проводят десять выстрелов и сравнивают результаты попадания в цель. Какое из трёх ружей стреляет точнее? Какая математическая величина характеризует эту точность?

Таблица измерений горизонтальных отклонений от цели

1

А

+1,0

2

Б

3

+1,0

В

+1,0

-0,5

+2,0

0

4

5

-1,5

-1,0

+1,5

0

+1,5

6

+2,0

-0,5

7

-1,5

+2,0

8

+1,5

-1,5

-1,0

+2,0

9

+1,0

+1,5

+1,0

10

+1,0

+0,5

-1,0

+1,0

+1,5

+2,0

+1,0

+3,0

Средние значения результатов испытаний:

А: 1,4

Б: 0,3

В: 0,35

Дисперсия результатов измерений для ружья А

1

Результат

2

Отклонение

+1,0

-0,4

3

+1,0

Квадрат отклонения

+2,0

0,16

-0,4

4

5

0,6

0,16

+1,5

0,1

0,36

6

+2,0

0,6

7

+2,0

0,01

8

0,6

+1,5

0,36

0,1

9

+1,5

0,36

10

0,01

0,1

+0,5

-0,9

0,01

+1,0

-0,4

0,81

0,16

Дисперсия результатов измерений для ружья Б

1

Результат

2

Отклонение

+1,0

0,7

3

0

Квадрат отклонения

-1,5

0,49

-0,3

4

5

-1,8

0,09

+1,5

1,2

3,24

6

-0,5

-0,8

7

-1,5

1,44

8

-1,8

+2,0

0,64

1,7

9

+1,0

3,24

10

2,89

0,7

-1,0

-1,3

0,49

+2,0

1,7

1,69

2,89

Выводы

Сравнивая числовые характеристики для двух ружей, можно сделать вывод, что разброс в попаданиях в цель у ружья Б почти в 3 раза больше, чем у ружья А.

Если в ряду содержится большое число данных, среди которых есть лишь несколько данных, значительно отличающихся от среднего арифметического этого ряда, то дисперсия такого ряда данных обычно не велика.

Недостаток дисперсии.

Если исследуемые величины измеряются в каких-либо линейных единицах измерения: килограммах, метрах, часах и т. д., то по сущности вычислений дисперсия измеряется в квадратах этих единиц, т. е. некоторые из этих единиц измерений не имеют реального смысла.

Поэтому дисперсию часто заменяют на среднее квадратичное отклонение , другими словами стандартное отклонение .

Стандартным отклонением числового ряда называют квадратный корень из дисперсии этого ряда. Стандартное отклонение принято обозначать греческой буквой  (сигма).

Задание 3

Задание для самостоятельной работы. На станках изготовляют детали по стандартным размерам. Для определения точности работы станков случайным образом выбирают 10 деталей и производят их измерения (в данном случае – длина детали в мм). С использованием алгоритма вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения сравните точности двух станков по отклонениям от стандарта, приведённым в таблице.

I

1

2

II

+0,5

+0,3

3

-0,5

4

-0,2

-0,4

+0,4

0

5

-0,3

6

-0,5

-0,2

7

-0,1

8

+0,3

+0,2

+0,6

9

+0,5

-0,3

10

+0,1

+0,1

+0,3

+0,5

Вопросы

• Всегда ли средние характеристики числового ряда могут дать точную информацию о нём?
• Что такое отклонение ?
• В каком случае для сравнения числовых наборов можно использовать суммы квадратов отклонений ?
• В каком случае для сравнения числовых наборов предпочтительно вычислить их дисперсии ?

Задание для самостоятельной работы.

На станках изготовляют детали по стандартным размерам. Для определения точности работы станков случайным образом выбирают 10 деталей и производят их измерения (в данном случае – длина детали в мм). С использованием алгоритма вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения сравните точности двух станков по отклонениям от стандарта, приведённым в таблице.

I

1

2

II

+0,5

3

+0,3

-0,5

4

-0,2

-0,4

+0,4

5

0

-0,3

-0,5

6

7

-0,2

-0,1

8

+0,3

+0,2

+0,6

9

+0,5

-0,3

10

+0,1

+0,1

+0,3

+0,5

Приложение к уроку 6

Домашнее задание

Выполнить №2.

Спортсмены проводили подготовку к соревнованиям по стрельбе из лука. Оба спортсмена произвели по 7 серий выстрелов. Каждая серия состояла из 12 выстрелов. По итогам каждой серии подведены результаты попадания в цель.

Получили следующие данные:

Спортсмен I: 11, 11, 12, 11, 9, 11, 12.

Спортсмен II: 12, 10, 9, 12, 11, 12, 11.

Кто лучше готов к соревнованиям?

Составить таблицу отклонений. Вычислять дисперсию. Вычислите стандартное отклонение (среднее квадратичное)