Презентация для 11 класса по теме "Действия с векторами"

Векторы в пространстве

вход

Содержание

I. Понятие вектора в пространстве

II. Коллинеарные векторы

III. Компланарные векторы

IV. Действия с векторами

V. Разложение вектора

VI. Базисные задачи

Проверь себя

Помощь в управлении презентацией

Выход

Понятие вектора в пространстве

Вектор(направленный отрезок) –

отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом.

Длина вектора – длина отрезка AB.

В

M

А

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной

прямой или параллельных прямых.

Среди коллинеарных различают:

• Сонаправленные векторы
• Противоположно направленные векторы

Сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы - векторы, лежащие

по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.

Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.

• Равные векторы

Равные векторы

Равные векторы - сонаправленные векторы,

длины которых равны.

От любой точки можно отложить вектор,

равный данному, и притом только один.

Противоположно направленные векторы

Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.

• Противоположные векторы

Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.

Вектором, противоположным нулевому,

считается нулевой вектор.

Признак коллинеарности

Доказательство

Доказательство признака коллинеарности

Определение компланарных векторов

Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.

Пример:

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

А

D

О компланарных векторах

Любые два вектора всегда компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.

α

если

Признак компланарности

Доказательство

Задачи

Задачи на компланарность

• Компланарны ли векторы:

а)

б)

Справка Решение

• Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы:

а)

б)

Справка Решение

Решение

Решение

Решение

Доказательство признака компланарности

B 1

С

B

A

A 1

O

Свойство компланарных векторов

Действия с векторами

• Сложение
• Вычитание
• Умножение вектора на число
• Скалярное произведение

Сложение векторов

• Правило треугольника
• Правило параллелограмма
• Правило многоугольника
• Правило параллелепипеда
• Свойства сложения

Правило треугольника

B

А

C

Правило треугольника

B

А

C

Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Правило параллелограмма

B

А

C

Свойства сложения

Правило многоугольника

Сумма векторов равна вектору, проведенному

из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).

B

C

A

Пример

E

D

Пример

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Правило параллелепипеда

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

А

D

Свойства

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

А

D

Вычитание векторов

• Вычитание
• Сложение с противоположным

Вычитание

Разностью векторов и называется такой

вектор, сумма которого с вектором равна

вектору .

Вычитание

B

A

Правило трех точек

C

Правило трех точек

Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.

B

А

K

Сложение с противоположным

Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .

А

B

O

Умножение вектора на число

Свойства

• Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
• Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Свойства

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Справедливые утверждения

Вычисление скалярного произведения в координатах

Свойства скалярного произведения

Справедливые утверждения

• скалярное произведение ненулевых векторов

равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны

• скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату

его длины

Вычисление скалярного произведения в координатах

Доказательство

Доказательство формулы скалярного произведения

B

α

O

A

A

B

O

O

B

A

Доказательство формулы скалярного произведения

Свойства скалярного произведения

1 0 .

2 0 .

3 0 .

4 0 .

(переместительный закон)

(распределительный закон)

(сочетательный закон)

Разложение вектора

• По двум неколлинеарным векторам
• По трем некомпланарным векторам

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Теорема.

Любой вектор можно разложить по двум

данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Доказательство теоремы

• Пусть коллинеарен .

Тогда , где y – некоторое число. Следовательно,

т.е. разложен по векторам и .

P

B

O

A

A 1

Доказательство теоремы

• не коллинеарен ни вектору , ни вектору .

Отметим О – произвольную точку.

Доказательство теоремы

Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Допустим:

Тогда:

-

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Если вектор p представлен в виде

где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и .

Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Теорема

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Доказательство теоремы

P

С

B

P 1

P 2

O

A

Доказательство теоремы

Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Допустим:

Тогда:

-

Базисные задачи

Вектор, проведенный в середину отрезка

Вектор, проведенный в точку отрезка

Вектор, соединяющий середины двух отрезков

Вектор, проведенный в центроид треугольника

Вектор, проведенный в точку пересечения

диагоналей параллелограмма

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда

Вектор, проведенный в середину отрезка,

равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.

С

A

B

O

Доказательство

Доказательство

С

A

B

O

Вектор, проведенный в точку отрезка

Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п .

С

A

m

n

B

O

Доказательство

Доказательство

С

A

m

n

B

O

Вектор, соединяющий середины двух отрезков,

равен полусумме векторов, соединяющих их концы.

N

С

N

D

С

D

B

B

M

M

A

A

Доказательство

Доказательство

N

С

D

B

M

A

Вектор, проведенный в центроид треугольника,

равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.

Центроид – точка пересечения медиан треугольника.

O

С

M

A

B

Доказательство

Доказательство

O

С

M

K

A

B

Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,

равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.

O

C

B

M

A

D

Доказательство

Доказательство

O

C

B

M

A

D

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,

равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.

C 1

B 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Доказательство

Доказательство

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Помощь в управлении презентацией

• управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши
• переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку
• завершение презентации при нажатии кнопки выход

переход к следующему слайду

возврат к содержанию

возврат к подтеме

возврат с гиперссылок

Проверь себя

• Устные вопросы
• Задача 1 . Задача на доказательство
• Задача 2. Разложение векторов
• Задача 3. Сложение и вычитание векторов
• Задача 4. Скалярное произведение

Устные вопросы

Справедливо ли утверждение:

а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны?

б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?

в) любые два равных вектора коллинеарны?

г) любые два сонаправленных вектора равны?

д)

е) существуют векторы , и такие, что

и не коллинеарны, и не коллинеарны, а

и коллинеарны?

Ответы

Ответы

а) ДА

б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными)

в) ДА

г) НЕТ (могут иметь разную длину)

д) ДА

е) ДА

Задача 1. Задача на доказательство

B 1

C 1

A 1

D 1

M 2

M 1

B

C

А

D

Решение

Решение

B 1

C 1

A 1

D 1

M 2

M 1

B

C

А

D

Задача 2. Разложение векторов

Разложите вектор по , и :

а)

б)

в)

г)

Решение

D

B

A

N

C

Решение

а)

б)

в)

г)

Задача 3. Сложение и вычитание

Упростите выражения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение

Решение

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Задача 4. Скалярное произведение

Вычислить скалярное произведение векторов:

C 1

B 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Решение

Задача 4. Скалярное произведение

Вычислить скалярное произведение векторов:

B 1

C 1

O 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Решение

Решение

Решение

Решение

C 1

B 1

O 1

A 1

D 1

B

C

A

D