Комбинаторика Теория вероятностей Математическая статистика
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. они в ряде случаев позволяют подсчитать количество всевозможных и количество благоприятных исходов.
Перестановки Размещения Сочетания
Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества
- Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n!
задачи
Задачи
1) Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7
3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3
2) Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?
Дополнительные задачи по комбинаторике
Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов Теорема: число размещений из n по m равно
задачи
1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?
2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?
Задачи
Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов Теорема: Число сочетаний из n по m равно
Следствие : Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m
1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров , что бы среди них были 3 черных ? Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.
Способов выбора былых шаров
Способов выбора черных шаров
По правилу умножения искомое число способов равно
2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй- не более 9 человек ?
Подгруппа из 3 человек
Подгруппа из 4 человек
Подгруппа из 5 человек
Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно:
Задачи
Теория вероятностей Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.
N – число всех исходов испытания
М – число исходов благоприятствующих событию А
Свойство вероятности:
- 1) Вероятность достоверного события равна 1
- 2) Вероятность невозможного события равна 0
- 3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству
Задачи по теории вероятностей
1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ?
N=10; М=6; А- Извлечение белого шара
N=10; М=4; А- Извлечение черного шара
задачи
2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он: А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый
- N=10; М=2
- N=10; М=4
- N=10; М=4
- N=10; М=0
Задачи
События
- Невозможные – это события, которые не могут произойти в данных испытаниях
- Достоверные – это события, которые обязательно произойдут в данных испытаниях
- Случайные – это события, которые могут произойти, а могут не произойти в данных испытаниях
Статистическая и геометрическая вероятности
Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота появления события в этих опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой появления события понимается отношение М/N , где N- число опытов; М-число появления события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5. Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности.
Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу , равна 1.
Теорема сложения вероятностей
- Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность
Условной вероятностью - называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Два события называются независимыми , если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого:
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность
Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:
Р(А 1 А 2 А 3 …А n )=Р(А 1 )Р А1 (А 2 )Р А1А2 (А 3 )…Р А1А2А3 …Аn-1 (А n );
Р А1А2А3…Аn-1 (А n ) – вероятность появления события А n , вычисленная в предположении, что события А 1 А 2 А 3 …А n-1 произошли
- Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
- Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 А 2 А 3 …А n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
Случайные события. Операции над событиями
Событие - явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания.
Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть).
Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).
Невозможным считается событие , которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).
Случайные события
Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В .
События А и В называются не совместными , если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А -выбивание четного числа очков; В - не четного).
События А и В называются совместным , если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А - в аудиторию вошел учитель; В - вошел студент).
Случайные события
Два события А и называются противоположными , если не появление одного из них в результате испытания влечет появление другого( отрицание А ).
Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий .
События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А -орел; В -решка).
Операции над событиями
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.
Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары.
А- извлечение черного шара
В- извлечение красного шара
С- извлечение белого шара
А+В – извлечен черный или красный шар
В+С – извлечен красный или белый шар
А+С – извлечен черный или белый шар
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Вероятность события А , которое может наступить только при условии появления одного из событий H 1 , H 2 , H 3 ,…,H n , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H 1 , H 2 , H 3 ,…,H n на соответствующую условную вероятность события А :
Формула полной вероятности
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Рассмотрим события В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n которые образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них В i событие А может наступать с некоторой условной вероятностью
Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А
Сколько бы не было вероятностей:
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса , формуле вероятности гипотез:
Формула Бернулли
Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р , Р(0
q=1-p ; q - вероятность противоположного события
или
Асимптотические формулы
Если число испытаний велико, то использование формулы Бернулли будет нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа , дающая асимптотическую формулу , позволяет вычислить вероятность приближенно.
Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Р n (m) того, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции
Асимптотические формулы. Распределение Пуассона
Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона . Теорема:
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np= , то вероятность Р n (m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна
1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?
2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?
Дополнительные задачи
Математическая статистика
Вариации это частота появления варианты (чисел ряда)
Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины
Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точке Рi или «размазав» ее с плотностью Fj(х) то точка математического ожидания будет координатой «центра тяжести прямой».
Пример: пусть случайная величина равна числу очков выпадающих при одном подбрасывании кубика, тогда математическое ожидание равно:
(1+2+3+4+5+6)/6=3,5
в среднем при одном подбрасывании кубика выпадает 3,5 очка
Дисперсия
Медиана
Мода
Задачи для самостоятельной работы