Решение прикладных задач(Наибольшее и наименьшее значение функции)

Решение прикладных задач по теме

«Наибольшее и наименьшее значения функции»

Гений состоит из 1 процента вдохновения и 99 процентов потения

Т. Эдисон

Цели урока:

1. Образовательные:

   1. закрепление алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a; b], интервале (a; b);

   2. создание условий для самостоятельной исследовательской деятельности обучающихся.

2. Развивающие:

   1. развитие творческих способностей обучающихся, логического мышления;

   2. развитие умения построения и записи математической модели для решения практической ситуационной задачи.

3. Воспитательные:

   1. активизация чувственного восприятия материала посредством решения задач с практическим содержанием;

   2. воспитание познавательной активности, уверенности в себе.

Оборудование: видеотерминал, опорная схема «Метод математического моделирования», карточки с заданиями для самостоятельной и индивидуальной работы.

Учитель. Ребята, я хочу начать наш урок с фрагмента рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев.

- А цена какая будет? – говорит Пахом.

- Цена у нас одна: 1000 р. за день.

Не понял Пахом.

- Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?

- Мы этого, - говорит, не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 р.

Удивился Пахом.

- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.

Засмеялся старшина.

- Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.

- А как же, - говорит Пахом, отметить, где я пройду?

- А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.

Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке. Что это за фигура?

[Прямоугольная трапеция]

А периметр ее мы можем найти?

[ км.]

Какова площадь этой трапеции?

Ребята, как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)?

Сегодня на уроке мы это и выясним.

Актуализация знаний

Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо вспомнить:

• алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, если функция на этом отрезке:

1. монотонная;

2. немонотонная.

Задание:

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке:

   1. ;

   2. .

2. Найдите наибольшее значение функции на промежутке .

• алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на интервале, луче.

Изучение нового материала

Ребята, изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:

1. задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр , через который интересующую нас величину выражают как функцию ;

2. средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

3. выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Учитель. Запишем в тетради следующую задачу: периметр прямоугольника равен 60 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Решение.

1. Выбираем независимую переменную и выражаем через нее стороны прямоугольника:

см – длина прямоугольника,

см - ширина прямоугольника. Тогда .

Запишем функцию: .

Таким образом, задача свелась к нахождению наибольшего значения функции на интервале .

1. Находим производную: .

Находим критические точки: .

точка максимума.

Итак, - единственная критическая точка на и является точкой максимума функции , следовательно, функция в этой точке достигает своего наибольшего значения.

1. Значит, длина прямоугольника 15 см, а ширина равна см.

Какая это фигура?

[Квадрат.]

Ответ: Квадрат со стороной 15 см имеет наибольшую площадь.

Учитель. Ребята! такой метод решения задач называют методом математического моделирования. С этим методом вы уже встречались. Когда?

Этот метод решения практических задач, как правило, содержит три основных этапа:

1. формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);

2. решение полученной математической задачи;

3. интерпретацию найденного решения.

Но эту задачу также можно решить и другим способом, используя неравенство Коши .

К оши Огюстен Луи

(1789-1857)-

крупный французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т.д. Большая заслуга Коши – разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т.п.

см – длина прямоугольника, см – ширина прямоугольника,

, , . .

, или .

Подставляя в это неравенство вместо число 30, получаем , .

Следовательно, наибольшая площадь прямоугольника 225 см². Равенство в неравенстве Коши возможно при равных слагаемых, то есть при . Это означает, что квадрат со стороной 15 см из всех прямоугольников данного периметра имеет наибольшую площадь.

А теперь вернемся к задаче, с которой мы начали урок. Значит, какую фигуру Пахом должен был обойти?

км, км, км² [Квадрат.]

Закрепление нового материала

Учитель: Решите еще две задачи прикладного характера. [Карточки на партах.]

1. Задача с физическим смыслом.

Материальная точка движется по закону , где - путь в метрах, а - время в секундах. Какой путь пройдет точка до остановки?

Ответ: 4,25 м.

1. Задача с геометрическим и экономическим смыслом.

Найдите при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.

Ответ: Наименьший расход жести на изготовление консервной банки цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой ( ).

Домашнее задание § 52 № 943; 948.

Требуется разместить на земле участок площадью 1250 м², который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCEFGHM, изображенного на рисунке, где EF=15 м, FG=20 м, AM=10 м и . Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие – либо значения длин KC, KH и AB, при которых периметр является наименьшим.