Решение заданий ОГЭ типа №20 и №21 по математике.

Решение заданий ОГЭ типа №20 и №21 по математике. Латыпова Альфия Сагитовна, учитель математики

Назначение заданий с развернутым ответом и их особенности. Задания части 2 направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне. Эта часть содержит задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики.

Они позволяют проверить способность к интеграции знаний из различных тем школьного курса, владение достаточно широким набором приемов и способов рассуждений, а также умение математически грамотно записать решение.

Цель: проверка владения материалом на повышенном и высоком уровнях

Уравнения типа № 20

Уравнения, относящиеся к категории сложных уравнений, могут сочетать в себе различные методы и приемы решения. Но, так или иначе, все уравнения методом логических рассуждений и равносильных действий приводят к уравнениям, которые ранее были изучены. Рассмотрим некоторые уравнения.

Пример 1. Решите уравнение( x +3) 2  =( x +8) 2 .

Решение. По формулам сокращенного умножения раскроем скобки:

переносим все члены за знак равенства и приводим подобные,

X ≠ 0

Задания типа № 21.

Одним из наиболее сложных разделов математики является решение текстовых задач. При решении любой задачи необходимо либо сделать полное объяснение составления уравнения или заполнить таблицу, обязательно прописывая измерения величин. При решении задачи с помощью дробно-рационального уравнения обязательно нужно указать ОДЗ. При решении задачи с помощью квадратного уравнения обязательно нужно прописать нахождение корней (решить данное уравнение). При решении задач, связанных с нахождением средней скорости , нельзя брать расстояние за единицу (нужно ввести переменную S).

Основные типы заданий № 21 в ОГЭ:

— Задачи на движение.

— Задачи на работу.

— Задачи на смеси и сплавы.

— Задачи на проценты.

Скорость, км/ч

Пешеход, шедший из A

Время, ч

Пешеход, шедший из В

x

Расстояние, км

9

10

Ответ: 6 км/ч.

Движение по воде.

1. Катер прошел от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке

ч

равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через

после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.

Решение. Пусть скорость течения реки равна x км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна

км/ч, а против течения   —

км/ч

Время движения катера по течению реки равно

а против течения  —

по смыслу задачи

Весь путь занял

Составим и решим уравнение:

Тем самым, скорость течения реки равна 4 км/ч.

  Ответ: 4 км/ч.

 2. Cоставим таблицу по данным задачи:   Плот Скорость, км/ч Яхта по пути туда Время, ч 2 Расстояние, км Яхта по пути обратно 11 υ + 2 22 80 80 Так как лодка вышла на 2 часа позже плота, можно составить уравнение: " width="640"

2 . Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В , тотчас повернула обратно и возвратилась в А . К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть искомая скорость равна υ км/ч, υ  2.

Cоставим таблицу по данным задачи:

Плот

Скорость, км/ч

Яхта по пути туда

Время, ч

2

Расстояние, км

Яхта по пути обратно

11

υ + 2

22

80

80

Так как лодка вышла на 2 часа позже плота, можно

составить уравнение:

Таким образом, скорость яхты в неподвижной воде равна 18 км/ч.

  Ответ: 18 км/ч.

Задачи на совместную работу.

1. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Решение. Предположим, что ученик делает x деталей в час,

детали в час .

Тогда мастер делает

Составим таблицу по данным задачи :

Производительность (дет/ч)

Ученик

Мастер

Время (ч)

x

Объем работ (дет)

231

462

Так как ученик потратил на работу на 11 часов больше, можно составить уравнение:

Решим уравнение, предварительно разделив обе части на 11:

Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. Отбрасывая отрицательный корень, находим, что ученик делает в час 3 детали.

  Ответ: 3.

2. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша  — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение. Пусть натуральное число x   — количество вопросов теста. Тогда время, затраченное на выполнение теста Димой, составляет часа,

составляет

часа.

а время, затраченное Сашей,

Для решения теста Диме

требуется на 75 минут или

Можно составить уравнение:

часа больше.

Следовательно, тест содержит 33 вопроса.

  Ответ: 33.

Задачи на проценты, сплавы и смеси.

1 . На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлев, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлева, а за Зайцева  — в 3 раза больше, чем за Журавлева и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?

Решение. Заметим, что победителем на выборах окажется Зайцев. Пусть количество голосов, отданных за Зайцева равно x. Тогда за Журавлева и Иванова вместе отдали Процент

голосов, отданных за Зайцева

Ответ: 75%.

2. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором  — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение. Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6 x кг меди, а второй сплав взят в количестве y  кг, тогда он будет содержать 0,45 y  кг меди. Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x  +  y , по условию задачи он должен содержать 0,55( x  +  y ) меди. Следовательно, можно составить уравнение:

Выразим x через y, получим, что

Следовательно, отношение, в котором

нужно взять

сплавы

Ответ: 2 : 1.

Решение задач заключается не только в умении выполнять арифметические действия, но и знание формул, величин и их закономерности. Умение решать задачи дает возможность человеку применять знания на практике, в повседневной жизни, раскрыть свои индивидуальные способности. При решении задач развивается наблюдательность, находчивость, абстрактное мышление. Анализируя задачи сборника ОГЭ № 21 можно сказать, что для понимания сути задачи необходимы знания с 6-го по 9-й класс общеобразовательной школы. Решение задач сопровождается детальным анализом полученных величин, умением выражать неизвестные, правильностью отбора полученного ответа. Ключевые слова:

условие, вопрос, решение, ответ.

Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный.

1. Арифметический метод. Составление условия задачи. Решение задачи. Выполнение проверки, отбор найденных значений по смыслу задачи для получения ответа.

2. Алгебраический метод. Составление условия задачи. Составление уравнений, систем уравнений, неравенств, систем неравенств. Выполнение проверки решения.

3. Комбинированный метод. Этот метод включает в себя арифметический и алгебраический метод. Алгоритм решения задач:

— Обозначить неизвестную величину через х .

— Выразить через нее другие величины.

— Найти зависимость между ними и на основании ее составить

уравнение или систему уравнений.

— Решить уравнение или систему уравнений

— Найти ответ на вопрос задачи, выполнив отбор решений

по смыслу задачи.

— Проверить правильность решения задачи.

Записать ответ.

Рекомендации при решении текстовых задач:

1. Если не получается определить зависимости величин, физических, химических, экономических терминов, законов, необходимо изучить тему, которая соответствует условию задачи.

2. При составлении уравнений, неравенств, систем уравнений правильно выбирать неизвестную величину. При возникновении затруднений заменить величину другой неизвестной.

3. При решении задачи не использовать ненужные величины.

4. При решении уравнений и систем уравнений применять рациональные методы решения.

5. Для успешного выполнения задания № 21 необходимо решить

несколько подобных задач самостоятельно.

Задачи на движение :

— Действие движения характеризуется тремя компонентами: пройденный путь, скорость и время.

Соотношение между ними: Путь = скорость • время

При движении по реке :

— Скорость по течению = собственная скорость транспорта + скорость течения реки.

— Скорость против течения = собственная скорость транспорта — скорость течения реки.

Задачи на работу :

характеризуют три компонента действия:

— Время работы

— Объем работы

— Производительность (количество произведенной работы в единицу времени). Соотношение между этими компонентами:

Объем работы = время работы • производительность.

Задачи на смеси и сплавы :

В задачах этого типа присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:

— Концентрация (доля чистого вещества в смеси);

— Количество чистого вещества в смеси (или сплаве);

— Масса смеси (сплава).

Соотношение между этими величинами следующее:

Масса смеси • концентрация = количество чистого вещества

Задачи на проценты:

Решение задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:

— нахождение процентов от числа;

— нахождение числа по его процентам;

— нахождение процентного отношения чисел.

Спасибо за внимание!