Теоретический материал профессиональной направленности для подготовки студентов по специальностям 21.02.08. Прикладная геодезия 21.02.14 Маркшейдерское дело" 21.02.05 Земельно-имущественные отношения

Вопросы.

1. Что такое прямая, луч, отрезок?

Перечислите виды линий. Проиллюстрируйте.

Прямая- бесконечная линия проходящая через две точки на плоскости или в пространстве, образом которой может служить туго натянутая нить.

Луч-часть прямой, ограниченный с одной стороны.

Отрезок-часть прямой ограниченный с двух сторон.

Ломаная разомкнутая - геометрическая фигура, состоящая из отрезков прямой, начало последующего звена является концом предыдущего.

Ломаная замкнутая- геометрическая фигура, состоящая из отрезков прямой,

начальная и конечная точки которых совпадают.

Кривая- линия, состоящая из бесконечно малых отрезков прямой

.

1. Что такое точка?

Воспринимается как бесконечно малая величина, местом пересечения двух или нескольких линий.

Например:

a a

g

K o

b o

c

e d b

3.С помощью какого приспособления можно построить прямую, луч или отрезок?

С помощью линейки.

4.Можно с помощью линейки измерить длину прямой? Длину луча? Длину отрезка?

С помощью линейки можно измерить только длину отрезка.

Прямая и луч бесконечны.

5.Как по отношению к другим прямым, лучам и отрезкам могут располагаться данные прямые, лучи и отрезки?

Прямые, лучи и отрезки могут пересекаться, быть параллельными и

Перпендикулярными по отношению к другим прямым, лучам и отрезками

f

k

a

c F^BC^K

пересекающиеся

f

k

a

параллельные

f || k || AB B

A

перпендикулярные скрещивающиеся

6. Что такое метр? Дециметр? Сантиметр? Миллиметр?

За длину метра принята одна сорокамильная часть земельного меридиана, проходящего через Париж и равна она 1*10^-7.

1 дециметр равен 1/10метра

1 сантиметр 1/100 метра и 1/10 дециметра

1 миллиметр равен 1/1000 метра и 1/100 дециметра

7. Что такое угол? Какие углы вы знаете? Проиллюстрируйте.

Угол- это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей с

началом в общей точке.

Лучи, образующие угол, называются его сторонами,

А общая точка- вершиной.

Различают следующие виды углов:

А) острый- по величине меньше 90⁰

Б) прямой- равен 90⁰

В) тупой- больше 90⁰

Г) развёрнутый равен 180⁰

Д) смежные- имеющие одну общую сторону и в сумме дают 180⁰

острый смежный

прямой тупой

8. Назовите плоскость, в которой могут располагаться углы?

Горизонтальная и вертикальная.

9. как можно назвать угол, между двумя прямыми в горизонтальной плоскости?

Горизонтальным

10.как можно назвать угол между прямой и горизонтальной плоскостью?

Углом наклона данной прямой

11.Каким приспособлением можно измерить или построить угол?

Транспортиром

12.что такое угловой градус? Угловая минута? Угловая секунда?

1/360 часть окружности принимается за угловой градус;

1/60 часть градуса принимается за угловую минуту;

1/60 часть угловой минуты или 1/3600 часть углового градуса

принимается за угловую секунду.

13. Что называется биссектрисой угла?

Луч, делящий угол пополам.

A

E

B C

14. по какой линии пересекаются две любые плоскости?

По прямой.

15. Какой угол называется двухгранным?

P2

P1 Угол между двумя плоскостями,

имеющими общую грань.

16. как можно измерить величину двухгранного угла?

Угол между двумя плоскостями равен линейному углу

между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

P2

P1 угол АОВ- угол

между плоскостями

P1 и P2.

17.Какая фигура называется треугольником? ( Треугольником называется геометрическая фигура состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков их соединяющих) Какие бывают треугольники? (прямоугольные, остроугольные, тупоугольные или равносторонние, равнобедренные, разносторонние)

Проиллюстрируйте:

B A

b c

c с произвольным

углами или длинами площадь прямоугольного

сторон треугольника равна

a половине произведения

его катетов.

A C C a B

A C

h

a B

Равнобедренный A Равносторонний (правильный) B

18. Может ли быть прямоугольный треугольник равносторонним?

Нет.

19. Может ли быть прямоугольный треугольник равнобедренным?

Да, если его катеты равны.

20. Как называются стороны прямоугольного треугольника? Проиллюстрируйте.

Стороны, составляющие прямой угол называются катетами, а третье

сторона- гипотенуза

В c

а стороны a и b-катеты,

С в А сторона с- гипотенуза

21. Как вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны длины катетов?

По теореме Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. BA²= BC²+CA²

22. Какой угол в прямоугольном треугольнике называется прилежащим?

Проиллюстрируйте.

A

c b

B a C

Угол, составленный катетом и гипотенузой прямой прямоугольного треугольника, называется прилежащим к данному катету.

23.какой угол в треугольнике называется противолежащим? Проиллюстрируйте . Угол, который лежит напротив данной стороны треугольника.

A

b c C AB

C a B

24.какая сторона в треугольнике называется противолежащей углу?

Проиллюстрируйте.

Сторона, лежащая напротив любого из углов, называется

противолежащей по отношению к этому углу.

B

c A CB

a

A c C

25.Какие тригонометрические функции угла в прямоугольном треугольнике вы знаете?

Дайте определение каждой. Проиллюстрируйте.

B

b

c

a

C A

Косинус угла- отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Cos A = b/c Cos A=СА/BA

Cинус угла- отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Sin A = a/c Sin A=СВ/BA

Котангенс угла- отношение прилежащего катета к противолежащему или отношение синуса к косинусу данного угла;

Ctg A=b/a Ctg a=ВC/АC

Tангенс угла- отношение противолежащего катета к прилежащему или отношение косинуса к синусу данного угла; тагенс и котангенс- взаимно обратные значения для одного и того же угла.

Tg A=a/b Tg A=AC/BC

26.можно ли вычислить тригонометрические функции для углов в произвольном треугольнике?

Можно.

27. чему равна сумма внутренних углов треугольника? В

=180

А С

А+ В + С=180

28.Что называется периметром треугольника?

Сумма длины треугольника. АВ+АС+СВ=P

29.Приведите формулу для вычисления периметра равнобедренного треугольника

Р=2*а +b, где а- длина равных сторон, b- длина третьей стороны.

а а

в

30. Приведите формулу для вычисления периметра правильного треугольника?

P=3*a, где a- длина сторон данного треугольника. а

31. Сформулируйте теорему синусов. Приведите формулы вычисления длин сторон

треугольника, если известна длина любой стороны и два внутренних угла.

В с Теорема синусов Отношения длины стороны к синусу противолежащего угла в

а А треугольнике есть величина постоянная для данного треугольника.

в

С

1)== 2)==

32. Сформулируйте теорему косинусов. Приведите формулы вычисления косинусов

внутренних углов треугольника, если известны длины его сторон.

Теорема косинусов . Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2 других сторон,

образующих данный угол, минус удвоенное произведение этих двух

сторон на косинус угла между ними.

a²=b²+c²-2*b*c*COS A A

b²=b²+c²-2*a*c*COS A

c²=b²+c²-2*a*b*COS A b c

C a B

33. Какой отрезок называют высотой треугольника?

Перпендикуляр, опущенный из вершины любого угла треугольника

на противолежащую сторону.

A

h

С В

h- высота данного треугольника.

34.какую сторону в треугольнике называют основанием?

Сторона треугольника, противоположная вершине угла, из

которого проведена высота.

A

А

C A

а B

a-основание данного треугольника.

35. приведите формулы для вычисления площади.

А) треугольника с известной высоты и длиной основания?

Б) треугольника с произвольными длинами сторон?

В) прямоугольного треугольника S=1\2 a*b (ab катеты) А

А)Площадь треугольника равна

h

половине произведения S=a*h

длины его основания на

высоту.

S=CB*AH

В) S = H

S= 1\2 АС*АВ*sin A с в

-у квадрата все стороны равны между собой, а все углы прямые; в сумме дают 360⁰.

B C

квадрат

A D

-у параллелограмма стороны попарно равны и параллельны, а противоположные углы

равны между собой; все углы в сумме дают 360⁰.

B C

Параллелепипед

A D

- у ромба все стороны равны, а противоположные углы попарно равны; все углы в сумме дают 360⁰. Диагонали ромба перпендикулярны.

ромб

- у произвольной трапеции две стороны (основания) различны по длине и параллельны между собой. Все углы разные по величине, но в суме дают 360⁰.

Сумма двух углов равна 180⁰

^{1 3} 1+ 2=180⁰

3+ 4=180⁰

^{2 4}

Площадь треугольника Площадь треугольника

произвольной формы равна равна половине

корню квадратному из произведения двух его

произведения на разности сторон на синус угла

полупериметра и каждой из между ними.

сторон (формула Герона)

S= p(p-a) (p-b) (p-c) S= 1/2a*b sin (ab)

36.Какая фигура называется четырехугольником? Какие бывают четырехугольники?

Проиллюстрируйте.

Геометрическая фигура, состоящая из четырех углов.

Четырехугольники бывают:

а) произвольного вида;

б)прямоугольник;

в)квадрат;

д)параллелограмм;

е)трапеция.

В произвольном четырехугольнике все углы разные по величине и в сумме дают 360⁰.

Произвольный

четырёхугольник

-у прямоугольника стороны попарно равны, все углы равны 90⁰ и в сумме дают 360⁰

прямоугольник

-у равнобедренной в трапеции основания различны по длине и параллельны между собой; равны между собой боковые стороны, а также равны между собой углы, прилежащие к основаниям. Все углы в сумме дают 360⁰.

B C AB=CD= A= D; B= C

A D

-у прямоугольной трапеции один из углов – прямой. Все углы в сумме дают 360⁰.

B C A=90⁰

AD BC

A D

37.Приведите формулу для вычисления периметра ромба.

P=4*a, где a – длина стороны ромба.

38. Приведите формулу для вычисления периметра прямоугольника.

P=2*a+2*b, где a и b- длины сторон прямоугольника.

39.Приведите формулу для вычисления периметра квадрата.

P=4*a, где a – длина стороны квадрата.

40.Какая фигура называется n-угольником? Какие бывают n-угольники?

Проиллюстрируйте.

Геометрическая фигура с различным количеством углов и сторон называется многоугольник или, в общем случае, n-угольником. Многоугольники бывают правильными и не правельными(произвольными). В правильных многоугольниках все углы и стороны соответственно равны между собой.

Правильный шестиугольник

Правильный пятиугольник

Не правильный семиугольник

41. Что называется периметром n-угольника?

Периметром называется сумма длин сторон n-угольника.

42. Как вычислить периметр правильного n-угольника?

P=n*a, где А-длина стороны n-угольника.

43. Как проконтролировать вычисление суммы внутренних углов n-угольника?

∑=180⁰ * (n-2). Где n-количество углов.

44. Как вычислить сумму внутренних углов правильного n-угольника?

∑=β*n, где β-велчина угла правильного n-угольника.

45.Приведите формулы для вычисления площадей разных n-угольников?

Проиллюстрируйте.

Площать прямоугольника равна произведению длин его сторон.

b

a

S=a*b

Площадь квадрата равна квадрату длины его сторон. S=a²

a

d

Площадь параллелограмма равна произведению его высоты на длину основания или произведению смежных сторон на синус угла между ними.

В

1)S=a*h.

h 2)S=a*b*sin A

b

A a

Площадь трапеции равна произведению его высоты на полусумму оснований.

S=( a+b)/2*h

b

h

a

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

d1

d2

1. S=(d1*d2)/2. 2)S=a*h

Площадь многоугольника произвольной формы вычисляется как сумма площадей фигур,

на которые можно разбить данный многоугольник.

a b S_общ.=S₁+S₂

S₂

h1 h2 S₁

d

c

46. Что называется окружностью? Проиллюстрируйте.

R-радиус

O-центр

Окружность - геометрическое место точек, равноудалённых

от одной точки, называемой центром.

47. Что называется радиусом окружности?

R-радиус

O-центр

Расстояние от центра до точки на окружности называется

радиусом.

48.что называется диаметром окружности?

D

O

D

Диаметр окружности- отрезок прямой, соединяющий две

точки на окружности и проходящий через её центр.

Диаметр равен двум радиусам d=2R.

49. Как вычислить длину окружности?

C=2*π*R, где R-радиус окружности.

50. Что называется кругом? Проиллюстрируйте.

Круг-часть пространства, ограниченная данной окружностью.

51. Как вычислить площадь круга?

S=π*R²

52. Что называется касательной к окружности или дуге? Проиллюстрируйте.

m

O R

K Прямая, перпендикулярная радиусу окружности

в данной точке.

R-радиус

mm-касательная

53.Что называется сферой?

Сфера – множество точек пространства, равноудаленных то одной точки O,

центра до точки на поверхности сферы называется радиусом.

R R

O

54.Что называется отвесной линией?

Отрезок, перпендикулярный к поверхности сферы и проходящий

через ее центр называется отвесной линией. Всякий радиус сферы есть

отвесная линия.

55.Что такое эллипс? Чем характеризуется эллипс? Проиллюстрируйте.

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из

которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости

постоянна и больше расстояния между этими точками.

Эти две точки называются фокусами эллипса, а расстояние между

ними- фокальным расстоянием.

d₁+d₂=cons

b

o

a

f1 f2

d₁

f1 o f2

m

d₂

a

b

оси:

a-большая

b-малая оси: a-большая

b-малая

f1 и f2-фокусы

56.Что такое эллипсоид? Чем характеризуется эллипсоид? Проиллюстрируйте.

Поверхность, которая получается вращением эллипса вокруг одной из его осей,

называется эллипсоидом вращения.

Эллипсоид характеризуется длинами осей и полярным сжатием.

K

b

• a

o1 o2

57.Что называется нормалью к поверхности эллипсоида?

Линия, перпендикулярная касательной к поверхности

эллипсоида, называется нормалью. На чертеже это отрезки

MO₁ и KO₂.

58.какая плоскость называется касательной к поверхности сферы или эллипсоида?

M

K

b

a

o1 o2

P

P-плоскость, касательная к поверхности эллипсоида в точке М

59.Что такое система координат?

В элементарной геометрии координаты- величины, определяющие положение точки на

плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется

расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке

(начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая –абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется

расстояниями от трех плоскостей координат, пересекающих в одной точке под

прямыми углами друг к другу , или сферическими координатами, где начало координат

находится в центре сферы. В географии координат- широта, долгота высота над

известным общем уровнем (например, океана).

60. Что называется полярной системой координат? Проиллюстрируйте.

Произвольно направленный луч и точка О (плюс) на данном луче, принятая за

начальную , представляют собой полярную систему координат.

I

O

61.Каким координатами характеризуется положение точки на плоскости в полярной системе координат? Проиллюстрируйте.

A

полярное расстояние-b

B-полярный угол I

O-полюс

Положение точки характеризуется величиной полярного угла и полярным расстоянием.

62.Что представляет собой в декартова система координат? Как направлены положительные значения осей координат в декартовой системе координат?

Проиллюстрируйте.

+ Y

_ +

X

_

Положительное направление оси X-влево

от начала координат, оси Y-вверх.

63. какими координатами характеризуется положение точки на плоскости в декартовой системе координат? Проиллюстрируйте.

+ Y

Kx K

_ Fx O X +

F Fy

Положение точки в декартовой системе координат характеризуется двумя координатами: абсциссой и ординатой.

64. Что называется абсциссой точки в декартовой системе координат?

Абсциссой точки называется ПЕРПЕНДИКУЛЯРА,

проведённого из данной точки до оси ординат (отрезки OKx

и OFx).

65.Что называется ординатой точки в декартовой системе координат? Ординатой точки называется длина Перпендикуляра, проведенного из данной точки до оси абсцисс (отрезки OKx и OFx).