Улуу математик Архимед жөнүндө.

Архимед

Архимед өзүнүн илимий ишмердигин механик жана техник катары баштоо менен Египетке сапар тартып, ал жердеги Александриялык окумуштуулар менен таанышып биргелешип иштей баштайт. Бул жердеги жасаган иш-аракеттери, анын улуу талантынын өсүп-өркүндөшүнө аябагандай чоң түрткү берген. Ошондой эле Архимед Сиракуздун падышасы ГиеронII менен да жакын болгон. 2-чи Пундук согуш учурунда Архимед рим аскерлеринен Сиракуздун инженердик коргонуусун уюштурган. Анын согуштук машиналары римдиктерди шаарды штурм менен басып алуудан баш тартырып, аларды узакка созулган курчоого алууга мажбур кылган. Акыры римдиктер шаарга кирип келип кыргын салган учурда Архимед рим жоокеринин колунан каза болоордун алдында, айтылып келген уламыштар боюнча “менин чиймелериме тийбе” – деген сөздү айткан дешет. Анын мүрзөсүнө шар жана анын сыртынан чийилген цилиндр менен сүрөттөлгөн эстелик коюлган.

Архимед математик катары ар кандай фигуралардын жана телолордун беттеринин аянттарын жана көлөмдөрүн табуунун ыкмаларын өркүндөткөн. Анын математикалык жумуштары ошол мезгилге салыштырмалуу бир кыйла алдыга кеткени менен, дифференциалдык жана интеградык эсептөөлөрдү иштеп чыгуу эпохасында гана туура бааланган. Архимед – математикалык физиканын баштоочусу катары да маалым. Математика, анын табият таануучулук жана техникалык маселелерди изилдөө иштеринде системалуу пайдаланылып келген. Архимед – механиканы илим катары иштеп чыккандардын бири болуп эсептелет. Ага бир нече ар түрдүү техникалык ойлоп-табуулар таандык.

Архимеддин жасаган иштери, анын ошол мезгилде математика менен астрономияны абдан жакшы билгендиги көрсөтүп турат жана ал изилдеген маселелердин маңызына терең үңгүп кирип териштире билгендиги таңдандырат. Анын бир нече эмгектери, досторуна жана кесиптештерине кайрылуу катары берилген. Кээде аларга өзүнүн ачылыштарын, жумшак кытмырлануу менен тамашалап, далидөөсүз жана бир нече туура эмес жолдомолорду кошумчалап мурдараак кабарлап койгон учулары да болгон.

IX – XI кк. Архимеддин эмгектери араб тилине которулуп, ал эми латынча котормосу XIII к. баштап Батыш Европада пайда боло баштайт. Анын эмгектери XVI к. баштап басмадан чыга баштайт, ошондой эле XVII – XIX кк. алар жаңы тилдерге которула баштайт. Архимеддин айрым бир эмгектеринин орусча басылмасы биринчи жолу 1823-жылы пайда болгон. Анын кээ бир эмгектери бизге чейин келип жеткен эмес, болгону үзүндү абалында белгилүү болгон, ал эми анын ”Эратосфенге кайрылуусу” кийинчээрек гана 1906-жылы табылган.

Архимеддин математикалык эмгектеринин негизги темасы – беттердин аянттарын жана көлөмдөрдү эсептеп чыгаруу маселелери болуп эсептелет. Мындай типтеги көптөгөн маселелердин чыгарылышын ал алгач механикалык элестетүүлөрдү (механические соображения) пайдалануу аркылуу таап, анан ал чыгарылыштардын ар бирин ”акырына жеткирүү методу” (метод исчерпывания) менен далилдеген.

Ошондой эле Архимед эллипстин, параболикалык сегменттин аянтын эсептеп чыгарган, конустун жана шардын беттеринин аянттарын, шардын, сфералык сегменттин жана ар кандай айлануучу телолордун, алардын сегменттеринин көлөмдөрүн тапкан. Өзүнүн изилдөөлөрүнүн учурунда бөлүмү 1/4 болгон чексиз геометриялык прогрессиянын суммасын тапканы, математикада чексиз катардын пайда болушунун алгачкы мисалы катары эсептелет. Архимед кайсы бир кубдук теңдемеге келтирилүүчү маселени изилдөөдө, кийинчерээк дискриминант деген атка конгон, мүнөздөмөнүн ролун тастыктаган. Ошондой эле үч жагы боюнча үч бурчтуктун аянтын табуунун формуласы Архимедге тиешелүү (Герондун формуласы деп туура эмес айтылып жүргөн). Архимед (толук эмес болсо да) жартылай туура томпок көп грандыктардын (архимеддик телолор) теориясын берген. “Барабар эмес кесиндилердин ичинен кичинеси жеткиликтүү санда кайталанса, анда чоңунан ашып кетет” – деген “Архимеддин аксиомасы” бөтөнчө мааниге ээ. Бул аксиома азыркы математикада маанилүү ролду ойногон архимеддик ирээтүүлүк (архимедовскую упорядоченность) деген аталышты аныктаган. Архимед өтө чоң сандарды атоого жана жазууга мүмкүн болгон эсептөөлөрдү түзгөн. Ал π санынын маанисин бир кыйла чоң тактыкта эсептеп чыгарган жана каталык пределин көрсөткөн.

Механика ар дайым Архимеддин кызыгуу чөйрөсүндө болуп келген. Ал өзүнүн алгачкы эмгектеринин биринде эле устундун таянычтарынын арасындагы оордуктардын бөлүнүштөрүн изилдеген. Телонун оордук борбору түшүнүгүнүн аныктамасы Архимедге таандык. Интеграциалык методдун айрым учурдагы колдонулушун пайдаланып, ал ар түрдүү фигуралардын жана телолордун оордук борборунун абалдарын тапкан. Рычаг законунун математикалык тыянагын Архимед берген. “Кайда турушту мага көрсөт, анда мен Жерди ордунан жылдырам” – деген учкул фразаны да Архимедге тиешелүү деп жүрүшөт. Архимед гидростатиканын негизине чыйыр салган жана бул илимий тармактын негизги жоболорун аныктаган, анын ичине атактуу Архимеддин закону да кирет. Архимеддин акыркы эмгеги сүзүүчү телонун тең салмактуулугун изилдөөгө арналган. Мында ал тең салмактуулуктун турактуу абалын баса белгилейт. Ал “архимеддик батпарек (винт)” деп аталган сууну көтөрүп чыгаруучу механизмди ойлоп тапкан. Анын бул ойлоп тапканы корабелдик, ошондой эле аба батпарегинин алгачкы үлгүсү (прообраз) катары белгиленет.

Архимед астрономия илими менен да иш алып барган. Ал Күндүн көрүнүүчү (бурчтук) диаметрин аныктоочу приборду конструкциялаган жана ал бурчтун таң калаарлык тактыктагы маанисин тапкан. Ал биринчилерден болуп Жердин борборуна байкоо жүргүзгөн. Акырында, Архимед аалам сферасын элестеткен – планеталардын кыймылын, Айдын фазаларын, күн жана ай тутулуштарын байкоого мүмкүн болгон механикалык приборду курган.

Эми Архимеддин математика областындагы ачкандарына токтололу.

Бурчтун үч секциясы жөнүндөгү маселе.

Бурчту үч барабар бөлүктөргө бөлүү маселеси архитектуранын жана курулуш техникаларынын керектелишинен пайда болгон. Жумушчу чиймелерди чийүүдө, ар түрдүү кооздуктарды иштеп чыгууда, көп грандуу колоннадаларды тургузууда, куруу иштеринде, храмдардын ичтерин жана тышкы беттерин жасалгалоодо, мүрзөлөрдөгү эстеликтерди тургузууда, байыркы инженерлер менен сүрөтчүлөр айлананы үч барабар бөлүктөргө бөлүүнү билиш зарылдыгына дуушар болушкан. Мындай абал көпчүлүк учурда кыйынчылыкты туудурган. Ушул себептүү бурчтун үч секциясы жөнүндөгү маселенин оригиналдуу, ошону менен бирге эле аябагандай жөнөкөй чыгарылышын Архимед берген.

Тегеректи ченөө.

Тегеректин квадратурасы жөнүндөгү маселенин мааниси мындайча: берилген тегеректин аянтына барабар аянттагы квадратты түзүү. Бул маселени чечүүдө Архимед зор салым кошкон. Ал өзүнүн “Тегеректи ченөө” аттуу трактатында төмөнкү үч теореманы далилдеп көрсөткөн.

Биринчи теорема: Тегеректин аянты, бир катети ал тегеректин айланасынын узундугуна, ал эми экинчисы тегеректин радиусуна барабар болгон тик бурчтуу үч бурчтуктун аянтына барабар.

Экинчи теорема: Тегеректин аянтынын, анын диаметрине тургузулган квадраттын аянтына болгон катышы, жакынча 11:14 катышына барабар.

Үчүнчү теорема: C–3d d жана C–3d  d, мында С – айлананын узундугу, ал эми d - анын диаметри. Анда, d C–3d d. Архимед сандын жогорку жана төмөнкү чегин, тегеректин ичинен жана сыртынан сызылган алты бурчтуктан баштап 96 бурчтукка чейинки туура көп бурчтуктардын периметрлеринин диаметрге болгон катыштарын удаалаш кароо менен аныктаган.

Архимеддин спиралы.

Архимеддик спираль – 0 полюсунун айланасында турактуу w бурчтук ылдамдыгы менен айланып, 0 чекитинен чыккан шоола боюнча v турактуу ылдамдыгы менен кыймылдаган М чекитинин траекториясын көрсөткөн жалпак трансценденттик ийри болуп эсептелет. Анын полярдык координатадагы теңдемеси: r=aj, мында a=v/w. Бул ийри эки бутактан турат (j нын оң жана терс маанилерине тиешелүү болгон). Удаалаш эки оромдун арасындагы аралык турактуу: 0А₁=А₁А₂=2pa. Ал эми М₁0М₂ секторунун аянты: S=(j³₂-j³₁)a²/6.

Инфинитезималдык методдор

Инфинитезималдык методдордун группасына: нактай толук кароо методу (метод исчерпывания), интегралдык суммалоо методу, дифференциалдык методу кирет. Булардын ичинен эң байыркысы интегралдык суммалоо методу болуп эсептелет.Ал фигуралардын аянттарын, телолордун көлөмдөрүн, ийри сызыктардын узундуктарын эсептөөлөрдө колдонулган. Айлануудан пайда болгон телолордун көлөмүн эсептөө үчүн, алар бөлүктөргө бөлүнүп ал бөлүктөрдүн ар бири, көлөмү эсептөөгө мүмкүн болгон ичтен жана сырттан сызылган телолорго жакындаштырылат (аппроксимируется). Жакындаштырылуучу сырткы жана ички телолорду, алардын көлөмдөрүнүн айырмасы аябагандай кичине болгондой кылып тандоо керек.