Урок-исследование на тему«ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ»

УРОК-ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ТЕМЕ: «ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ»

Цель урока:

• Вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел.
• Сформировать умение учащихся практически применять эти формулы для упрощения выражений.
• Воспитывать активность, внимательность, самостоятельность.
• Развивать математическую речь, память, интерес к математике, умение логически рассуждать.

Ход урока.

Введение.

«Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих формул».

I. Устные упражнения.

1. Найдите квадраты выражений.

b ; - 3 ; 6а ; 7х 2 у 3 .

2. Найдите произведение 5 b и 3 с. Чему равно удвоенное произведение этих выражений?

3. Прочитайте выражения.

а) х + у в) (к + 1) 2 д) (а –b) 2

б) с 2 + р 2 г) р – у е) с 2 – х 2

4. Перемножить данные многочлены.

( 4 – а) · (3 + а).

5.Объясните, как умножить многочлен на многочлен.

II. Новый материал.

Исследовательская работа.

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят ребята с разной математической подготовкой. Каждой группе предлагается заполнить на доске три строки таблицы, перемножив пары двучленов, приведённых в этой строке. После того как ребята справились с заданиями, один из них выходит к доске и записывает в правом столбце таблицы полученный ответ. Средняя часть таблицы закрыта.

Задание: Найти произведение данных многочленов.

I

II

1) (а + b) (а +b)

(а +b) 2

III

= а 2 + 2аb + b 2

2) (с + d ) (d + c)

(c + d) 2

= c 2 + 2 c d + d 2

3) (x – y) (x – y)

(x – y) 2

Из Д / З. № 731

= x 2 – 2 x y – y 2

(x + 10) (x + 10)

(x + 10) 2

=

(3a – 1) (3a – 1)

(3a – 1) 2

=

(5 – 6b) (5 – 6b)

(5 - 6b) 2

=

Вопросы: 1) Есть ли нечто общее в условиях и ответах?

2) Можно ли выражения в I cтолбце записать короче?

Получив ответы, учитель открывает II столбец.

( Открыть II столбец)

- Вы уже приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение двух одинаковых двухчленов (1 столбец таблицы), т.е. возводили в квадрат сумму и разность двух выражений (2 столбец таблицы).

Обсуждение полученных результатов

Анализ III столбца:

После приведения подобных членов подсчитайте, сколько получилось членов в каждом многочлене? (ответ: трёхчлен)

Что представляет собой 1 й , 2 й и 3 й члены по сравнению с 1-м и 2-м выражениями, стоящими в основании соответствующей степени?

1-й член – квадрат первого выражения.

2-й член – удвоенное произведение первого и второго выражений.

3-й член – квадрат второго выражения.

Итог.

Учащиеся записывают общую формулу квадрата суммы двух чисел и дают словесное описание.

(а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2 - формула сокращённого умножения.

(подчёркивается, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат суммы двух выражений).

Исследование начинается с вопросов.

1) Изменяется ли результат, если возвести в квадрат не (а + b) 2 , а (а – b)?

2) Как можно проверить наше предположение?

(Выясняется, что можно проверить воспользовавшись таблицей, если во всех скобках левого столбца знаки «+» поменять на «- «).

Учащиеся (проверка происходит в группах) проверяют результат и выясняют, что « - « стоит только перед удвоенным произведением.

(а – b) 2 = а 2 – 2аb + b 2

-Для чего нужны формулы? ( Для упрощения выражений)

Задание: Сформулируйте эти две формулы, а затем прочитайте по учебнику на стр. 152 – 153.

Приступаем к работе компактным методом.

Первый шаг. Ученики выполняют упражнение: «Разделить правило чёрточками на отдельные указания».

Квадрат суммы двух выражений ║ равен квадрату первого выражения ║ плюс удвоенное произведение первого и второго выражений ║ плюс квадрат второго выражения.

Расстановку чёрточек сверяют

Второй шаг. Учитель даёт образец выполнения упражнения с помощью подготовленного к работе правила.

Третий шаг. В соответствии с образцом, указанным учителем, вызванный ученик читает правила по учебнику и, останавливаясь после каждой чёрточки, выполняет соответствующую часть упражнения:

«Квадрат суммы двух выражений (убеждается, что дан именно квадрат суммы

(х 2 + 2хy) 2 , а не что-либо другое) равен квадрату первого выражения (записывает: (х 2 ) 2 ) плюс удвоенное произведение первого и второго выражений (выполняет это указание: 2 (х 2 ) (2 хy)) плюс квадрат второго выражения (записывает: (2 хy) 2 и упрощает полученное выражение х 4 + 4 х 3 y + 4 х 2 y 2 )

Остальные следят за работой отвечающего на доске:

а) (х 2 + 2хy) 2

б) (8х + 3) 2

в) (10х – 7 y) 2

г) ( 1/2а + 6с) 2

III Закрепление нового материала

Групповая работа.

Каждая группа работает самостоятельно, получив тестовое задание.

Выбрать правильный ответ.

Задания

1) (с + 11) 2

А

c 2 + 11c +121

2) (7y + 6) 2

Б

В

c 2 - 22c + 121

49y 2 + 42y + 36

3) (9 – 8y) 2

81 – 144y + 64y 2

c 2 +22c + 121

4) (2x – 3y) 2

49y 2 + 84y + 36

81 – 72y + 64y 2

49y 2 – 84y +36

4x 2 -12xy + 9y 2

81 + 144y + 64y 2

81 – 72y + 64y 2

4x 2 – 6xy + 9y 2

Результаты работы с тестами учащиеся записывают на доске.

1

2

В

Б

3

4

А

А

Игра «Кубик – экзаменатор».

На каждой грани, записан квадрат суммы или разности двух выражений. Вызванный по желанию ученик, подбрасывает кубик и комментирует выпавшую ему на верхней грани часть формулы, называет многочлен, в который можно преобразовать данный квадрат двучлена.

(4zy – 3р) 2

(b – 3) 2

(g + 5c) 2

(4c 2 - 5t) 2

(7c + 5p) 2

(1/2x + 1) 2