Задание для группы Т21 на 18.01, 19.01, 20.01.2020

При проверке лекций оценка не ставится, пишется зачтено. При проверке тестов, самостоятельных и контрольных работ оценка ставится. Но при выставлении оценки за месяц при неприсланных лекциях, оценка снижается на балл. Выбор за вами!

18.01.2021

Лекция 2

Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными методом сложения

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменений, в нем удобен коэффициент перед х, равный единице, это так называемый направляющий элемент.

Чтобы избавиться от х во втором уравнении умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым.

Чтобы избавиться от х в третьем уравнении умножим первое уравнение на минус единицу и сложим с третьим.

Преобразуем:

Так как мы легко нашли z, подставим его значение в первое и третье уравнения:

Подставим полученное значение у в первое уравнение и найдем х:

Ответ: ( )

Мы получили единственное решение и это можно было предвидеть. Геометрическим образом каждого уравнения данной системы является плоскость. Все три плоскости могут пересечься в одной точке. Линия пересечения двух плоскостей пересекается с третьей плоскостью и в результате получается единственная точка пересечения – единственное решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Напомним, что системы линейных уравнений могут либо иметь единственное решение, либо бесчисленное множество решений, либо не иметь решений вовсе.

В данном случае система не имела бы решений, если бы плоскости были параллельны. Такова геометрическая интерпретация данной системы.

Работы нужно присылать до 15.15, иначе работа проверяться не будет, и будет выставлена неудовлетворительная оценка.

19.01.2020 Практическое занятие№2

Самостоятельная работа 2

Решить методом сложения систем их трех уравнений с тремя неизвестными. Сделайте проверку

20.01 .2020 Лекция 3

Применение метода сложения к решению задач.

Ряд задач можно решить, составив систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

Задача 1.

В отделе работают программисты и дизайнеры. Вчера на работу не пришли 4 программиста, и 1 дизайнер. При этом оказалось, что программистов на 2 человека меньше, чем дизайнеров. Сегодня не пришел 1 программист и 5 дизайнеров. При этом оказалось, что программистов в 2 раза больше, чем дизайнеров. Сколько всего сотрудников числится в отделе.

РЕШЕНИЕ:

Пусть x – это общее количество программистов, y – дизайнеров. В первый день на работе было x – 4 программиста и y – 1 дизайнеров. Поскольку первых оказалось на 2 человека меньше, то чтобы уравнять количество программистов и дизайнеров, надо из количества дизайнеров вычесть два. В итоге получаем такое уравнение: x – 4 = y – 1 – 2.

Во второй день программистов x – 1, а дизайнеров y – 5. Поскольку программистов оказалось в 2 раза больше, то чтобы уравнять количества специалистов, надо либо разделить на 2 программистов, либо умножить на 2 дизайнеров. Второе сделать проще, в итоге получаем уравнение: x – 1 = 2 (y – 5).

Таким образом приходим к системе двух линейных уравнений с двумя переменными:
| x – 4 = y – 1 – 2
| x – 1 = 2 (y – 5)

Преобразуем уравнения:
| x – y – 1 = 0
| x – 2y + 9 = 0

Решим систему методом алгебраического сложения. В данном случае уместно использовать вычитание):
(x – y – 1) – (x – 2y + 9) = 0
x – y – 1 – x + 2y – 9 = 0
y = 10

Находим x:
x – 10 – 1 = 0
x = 11

Ответ: Всего в отделе числятся x + y сотрудников, то есть 10 + 11 = 21 человек.

Задача 2

Туристы отправились в путешествие. Сначала они решили плыть по реке и сели на пароход, который проплыл 240 км. На это они потратили 2 часа, плывя против течения, и 3 часа – по течению. Туристы решили определить, какова скорость парохода по течению и против, если известно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения.

Решение:

1. Пусть x км/ч – скорость парохода против течения, а y км/ч – скорость по течению. По условию задачи пароход проплыл 240 км за 2 часа против течения и за 3 часа - по течению. Отсюда: 2х + 3y = 240.

Известно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения. Отсюда: 2y – 3х = 35.

2.Составим и решим систему уравнений:

;   ;   ;   ;   ; 

3. Ответ: 28 км/ч и 60 км/ч.